Na Heisenbergově obrázku (s použitím přirozených rozměrů): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Pokud je hamiltonián nezávislý na čase, můžeme vzít částečnou derivaci obou stran s ohledem na čas: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Proto $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, tag {3} $$, ale to neodpovídá tomu, co uvádí mnoho učebnic Heisenbergova pohybová rovnice. Místo toho uvádějí, že $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Proč je to obecně pravda a ne předchozí výrok? Jsem jen pedantský při používání částečných a celkových derivací?
Komentáře
- Proč jste použili částečnou derivaci? V Heisenbergově formalizmu jsou státní sady fixovány v čase a operátoři se časem liší. Takže na LHS můžete vzít derivaci celkového času operátora.
- Omlouvám se, že tam ' nerozumím vaší logice. Zde se $ O_s $ může měnit s časem, stejně jako $ O_H $, ale je zcela zřejmé, že na LHS je derivát celkem čas ve výši $ O_H $ a na RHS se objevuje částečný čas derivát . Proč nejsou ' ty oba dílčí deriváty v čase?
- @ I.E.P. V ekv. (2), Proč na levé straně není ' to $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, Na levé straně použijete $ \ frac {d \, O_H} {dt} $ a celkovou derivaci lze vyjádřit jako součet dílčích derivací.
- @IEP Myslím, že tady vám chybí matematický rozdíl derivace celkem a parciální derivace. Vlevo $ O_H $ jako funkce $ t $, tedy celková derivace, vpravo $ O_H $ jako složená funkce prostřednictvím relace (1), tedy částečná derivace pro každou komponentní funkci.
Odpověď
S některými definicemi, které vysvětlují časovou závislost, může mít vaše rovnice (4) smysl. Vezměme následující:
Nechme $ O_s $ operátorem v závislosti na čase a dalších parametrech $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, kde $ S $ je prostor ostatních parametrů a $ \ mathrm {Op} $ je prostor operátorů na Hilbertově prostoru. Nechť $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ označuje časový vývoj operátorů na Heisenbergově obrázku, daný $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Všimněte si, že $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ a $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (protože $ \ phi $ je lineární v $ O $). Nyní, vzhledem k parametru $ p \ v S $ můžeme definovat funkci času: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ s $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Naše funkce $ O_H $ je one-parameter one, so it makes sense only to take its total derivative: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ částečné_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
kde jsem v prvním kroku použil pravidlo řetězu a v ostatních rovnosti, které jsme již měli.
Odpovědět
Ne, nejste jen „pedantičtí“ se svým zneužitím částečných derivací: vaše Eqns (2) a (3) jsou ploché. Jednoduše jste nepoužili správné definice, jak na to upozorňuje @WeinEld. (Možná jste se ušetřili zármutku, pokud jste ilustrovali svoji otázku pro jednoduchý systém, jako je SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ takže pro $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ kde $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ a podobně pro p .
Časová derivace $ O_H $ se skládá z částečné derivace wrt t za středníkem plus konvektivní derivát kvůli toku x a p na Heisenbergově obrázku, $$ \ frac {\ parciální O_H} {\ parciální x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ parciální O_H} {\ parciální p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Dokažte to! Pokud jste to neudělali, diskuse je celá pára.)
Částečná derivace je $$ \ frac {\ parciální O_H} {\ parciální t} = e ^ {iHt} \ frac {\ částečné O_S} {\ částečné t} e ^ {- iHt} = \ levé (\ frac {\ částečné O_S} {\ částečné t} \ pravé) _H. $$ (Někteří to vyjadřují jako $ \ frac {\ parciální O_H} {\ parciální t} $, důvěřování čtenáři by správně pochopilo evidentní rozlišení pouze argumentu za středníkem, ale právě tato otázka je může udělat dvakrát si to rozmyslete . Jistě, nyní, protože $ O_S $ má konvektivní derivaci, $ dO_S / dt = \ parciální O_S / \ parciální t $, jak je uvedeno v komentáři, takže to není problém.)
V každém případě spojení těchto dvou částí dohromady vytvoří konvenční $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Monitorujte zjevné chování jednoduchého pozorovatelného, jako je $ O_S = tx $ v SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, slavný rigid klasická rotace ve fázovém prostoru, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; tedy $ O_H = tx (t) $. Proto $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: nyní oceníte efektivitu a rozdíly příslušných obrázků. (Například $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ s fyzikem „obvyklým vyhýbáním se matematickému zápisu reklamy na mapě.)
Orientujete se podle myslet na S obraz jako na Eulerianův snímek a na H obraz jako na Lagrangianův, kombinující snímek.