Jak dlouho trvá odpařování šálku vody?
K zodpovězení této otázky předpokládám některé základní parametry a to, že vodu fouká ventilátor, abych dospěl k odhadu:
- Objem vody: $ V = 200 \ \ mathrm {mL} $
- Horní povrch vody: $ A_ \ mathrm s = 0,05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Teplota místnosti: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Teplota vody: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Relativní vlhkost vody ve vzduchu v místnosti: 50 $ \ \% $
- koeficient konvekce přenosu tepla z ventilátoru / vítr: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
Pojďme Předpokládejme, že voda je v tepelné rovnováze s okolní místností (velkým zásobníkem tepla), takže nedochází k vznášení.
Začnu s odpařovacím hmotnostním tokem daným
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
a $ h_m $ je koeficient přenosu hmoty, který se nachází z analogie přenosu tepla a hmoty:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
kde $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ je Lewisovo číslo. Hmotnostní průtok odpařováním je tedy
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Rozdíl hustoty můžeme odhadnout pomocí relativní vlhkosti vzduchu na ~ 50 $ \ \% $ pro normální místnost:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0,5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0,5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0,5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ krát 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8,315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ krát 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Lewisovo číslo se počítá z tepelné difuzivity vzduchu $ \ alpha = 2,2 \ krát 10 ^ {- 5} $ a binární difúzní koeficient $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ pro difúzi vodní páry vzduchem je dáno experimentální korelací (s $ p $ v $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ krát 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2.072}} {p} = 1,87 \ krát 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2,5 \ krát 10 ^ {- 5} $$
Lewisovo číslo je tedy $ Le = \ frac {2.2} {2.5} = 0,88 $ . Hmotnostní průtok z povrchu je
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ krát 0,012} {1,2 \ krát 1000 \ krát 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ krát 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Předpokládám, že tento hmotnostní tok zůstává s časem konstantní, protože voda je v tepelná kvazi-rovnováha s místností (velký teplotní rezervoár), a proto zůstává na konstantní teplotě, čímž se nemění vlastnosti vody.
Hromadná ochrana o výtěžcích vody
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Integrací jsme zjistili, že časová rychlost hromadné změny je lineární:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
Chcete-li se zcela odpařit, $ m (t) = 0 $ a
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1,2 \ krát 0,2} {5,5 \ krát 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1,2 \ \ mathrm h $$
Plné odpaření vody trvá 1,2 hodiny.
Zdá se, že odpařování trvá 1 hodinu docela rychle, ale od začátku jsem použil velký konvekční koeficient. Několik myšlenek / otázek:
- Co kdyby nedošlo k nucenému proudění od ventilátoru? Nemáme přirozenou konvekci ani záření, protože voda je v tepelné rovnováze s místností. Jaká je v tomto případě povaha odpařování a jak můžeme vypočítat úbytek hmotnosti?
- Předpokládal jsem, že ztráta hmoty odpařováním je po celou dobu konstantní, protože voda je v tepelné rovnováze s místností (velká nádrž) a nemění teplotu. Je to dobrý předpoklad?
Komentáře
- Nezkontroloval jsem ' vaši aritmetiku, ale váš přístup je správný. Pokud jde o otázku, zda zde není absolutně žádná konvekce, pak jako v nejhorším případě byste měli problém s přímou difúzí.To by znamenalo, že by se ve vzduchu obklopujícím povrch kalíšku nahromadila koncentrace a rozsah této oblasti by se časem zvyšoval, se 100% vlhkostí na povrchu a 50% vlhkostí od povrchu.
- @ChetMiller Takže by to vypadalo jako polo-nekonečný problém s hromadnou difúzí, s podobnými řídícími rovnicemi a řešeními s polo-nekonečným problémem přenosu tepla? Hmotový tok by pak závisel na čase, správně?
- Z praktického hlediska si myslím, že pokus o přesný výpočet rychlosti odpařování je docela obtížný. Těsně nad vodní hladinou je obecně tenká stojatá vrstva vzduchu, která má mnohem vyšší relativní vlhkost než RH místnosti, a tato tenká vrstva je důležitým faktorem omezujícím rychlost odpařování. ' Nemyslíte si, že ' není snadné přesně vypočítat RH nebo tloušťku vrstvy, ani to, jak se tyto dva parametry mohou změnit jako funkce množství vzduchu proudícího po povrchu. Rychlost odpařování může být také citlivá na drobný olej nebo jiné filmy na povrchu.
- Jistě. Pravděpodobně by to muselo být řešeno numericky, pokud byste nebyli ochotni aproximovat hladinu vody jako malou kruhovou plochu vloženou v nekonečné rovině pod polo nekonečným poloprostorem. Jsem si ' jistý, že Carslaw a Jaeger mají řešení tohoto analogického problému přenosu tepla.
- @SamuelWeir Drew ' Řešení zohledňuje koncentrační mezní vrstvu nad povrchem. Jeho koeficient přenosu hmoty se rovná koeficientu difúze dělenému tloušťkou mezní vrstvy.