Jako celoživotní studenti matematiky považujeme řešení problémů za naprosto zásadní pro lepší porozumění předmětu. Výuka toho, co víme, slouží k posílení našich stávajících znalostí a k šíření informací mezi studenty.
Jak však lze vytvořit „dobré“ problémy?
Pod pojmem „dobrý“ mám na mysli podnětné a inspirativní problémy s řešeními, která lze rozšířit na další domény. Tím se také zvyšuje úroveň olympiádových problémů, u nichž se zdá, že autoři problémů mají pozoruhodnou míru vynalézavosti a kreativity při vytváření nových problémů.
Komentáře
- Obávám se, že tato otázka je příliš široká. Nechci ‚ říct, že nemůžeme ‚ t rozhodnout o tom, co “ dobré “ znamená z hlediska matematického problému. Spíše však tato definice příliš silně závisí na (i) pro koho je problém navržen a (ii) jaké druhy matematického obsahu / technik by měly používat. To znamená, že “ dobrý “ problém učících se zlomků žáka 6. ročníku se velmi liší od “ dobrý “ problém ukázat studentovi ekonomie, jak je kalkul užitečný v jeho disciplíně.
- Souhlasím s tím, že by bylo nejlepší mít tento omezeno na jedno matematické téma, např. jak vytvořit dobré topologické problémy.
- Někteří z mých učitelů měli nepřekonatelnou schopnost psát domácí úkoly / zkoušky, na kterých jste se při řešení problémů hodně naučili. Jiní jen dávali nudné problémy. První byly celkově mnohem náročnější, i když v každém smyslu “ těžší „. Pokud se podíváte na navrhované problémy v učebnicích, uvidíte ‚ to samé. ‚ Obávám se, že jde do velké míry o talent, který se těžko přenáší.
- Jedním z největších problémů, které jsem v dřívějším vzdělávání našel, bylo, že kontext daný problému, který jsme řešili. Jejich uvedení do kontextu by mohlo docela pomoci. Vezměme si například factoring polynomu. Pokud to dáte do kontextu optimalizace v počtu (řešení pro nuly derivace), bude zřejmé jeho použití. Využití slovních úloh prezentovaných v pokročilejších materiálech a jejich následné požádání o vyřešení části, které se učili, (ve výše uvedeném příkladu jejich použití jako předpočítané derivace) je platnou strategií pro prezentaci problémů ve správném kontextu.
Odpověď
Jelikož je vaše otázka velmi široká, je zde poněkud široká odpověď: Přečtěte si o problémovém pózování.
Tři klíčové součásti jsou:
Silver, EA (1994). O matematické úloze. Pro studium matematiky, 14 (1), 19-28.
a kniha
Brown, SI, & Walter, MI (2005). Umění problémového pózování . Psychology Press.
Posledně jmenovaný je přetisk knihy, která vyšla poprvé v roce 1983. Najdete také související knihu vydanou Brownem a Walter; citace nejnovější verze je:
Brown, SI, & Walter, MI (vyd. ). (2014). Problém s pózováním: Úvahy a aplikace . Psychology Press.
Začněte těmito třemi dokumenty, jejich odkazy a (hledáním na google scholar) dalšími články a články, které je citovaly.
Chcete-li velmi zhruba načrtnout návrh Browna a Waltera: Začněte matematickým scénářem, vyjmenujte předpoklady, změňte omezení (v jejich pojmech: “ Co kdyby ne
) a pak se zeptejte. Můžete dokonce “ cyklovat “ prostřednictvím tohoto procesu opakovaně, aby vznikly problémy s rostoucí složitostí.
Představování problémů s sebou samozřejmě přináší nebezpečí neznát odpověď na to, na co se ptáte.
Například , váš výchozí scénář může použít Pythagorovu větu:
Najděte všechna celočíselná řešení pro $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .
Tento konkrétní příklad je prozkoumán v knize Browna a Waltera, ale zdá se mi rozumným předpokladem vyjmenovat že exponent všude je $ 2 $ , a požádat o celočíselná řešení, když je exponent $ 3 $ .. .. nebo, pokud se člověk cítí zvlášť odvážný, zobecnit a požádat o exponent $ k \ geq 3 $ .
Na první pohled se to může zdát jako rozumná otázka; ale pokud jste obeznámeni s Fermatovou poslední větou, pak si uvědomíte, že to není pro většinu studentů vhodný problém.
Některé mé krátké poznámky o pózování a kreativitě problémů najdete částečně $ 4b $ zde a několik dalších příkladů souvisejících s pózováním a intuicí v konkrétní příklad sekce zde .
Poslední poznámka: Začnete tím, že uvedete “ základní “ role řešení úlohy při zlepšování našeho chápání matematiky. Možná stojí za zmínku, že problém pózování hraje důležitou roli v zvažte; vezměte v úvahu seznam heuristik Polyy a kolik z nich jsou otázky: Jaký je související problém? Jaký je jednodušší problém? Jak mohu tento problém zobecnit? Atd. (Historicky Silver, v první části citované výše, i Kilpatrick, při formulaci problému , sledují toto pozorování, tj. Tento problém je nedílnou součástí řešení problému, přinejmenším zpět k příspěvek Karla Dunckera z roku 1945.)
Jak píše Cantor (1867) ve své disertační práci:
„In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi “
(„ V matematice je umění kladení otázek cennější než řešení problémů “).
Komentáře
- Zatímco jsem ‚ fanouškem P ó lya ‚ s knihou, obávám se, že má předpoklad, že vám budou poskytnuta všechna potřebná data a pouze potřebná data, příliš mnoho vestavěných “ “ Problémy ve skutečném světě se z velké části týkají zjištění, co je relevantní a co není ‚ t a shromažďování missin g data.
- @vonbrand Kromě pohledu na některé z následujících knih Polya ‚ (post- Jak to vyřešit ) I ‚ d navrhuje pro “ problémy reálného světa “ zkoumat literaturu o matematickém modelování. Průnik matematického modelování a matematického vzdělávání lze stále docela dobře pročesat; začít s prací Pollak ‚ (relevantní: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) a přesunout k jeho citacím …
Odpovědět
Pro mě jsou možná tři hlavní typy problémů, které assign:
- Rutinní budování dovedností : buď jsou modelovány podle výpočtu, který jsem ukázal podobné problémy jsou vyřešeny, nebo jde o důkazní problém, který je jen přirozeným důsledkem definice s malou potřebnou technikou navíc. U korekturního kurzu není mnoho problémů nic jiného než pozvání k péči o to, co zápis ve skutečnosti znamená.
- Šířka objevu : v každém kurzu jsou určitá témata, na která nemáme na přednášce dostatek času. Pro studenty je velmi přínosem, když jsou vedeni krátkým modulem problémů, kde objevují základní rysy tématu, které není podrobně pokryto přednáškami a jinými materiály.
- Výzva : zde nejsou žádné kolejnice, žádný box, žádné očekávání, které by kdokoli v kurzu vyřešil. Někdy se používají k ukázání omezení současné rodiny technik řešení problémů, někdy zahrnují fuzzy intuici, která vede kreativní skok.
Mám podezření, že většina problémů, které píšu, a / nebo přiřadit fit buď do 1, nebo 2, ale studenti mě často obviňují ze 3. Upřímně řečeno, jedním z důvodů, proč se snažím surfovat na MSE spravedlivě, je posoudit, co je obsaženo v mých kurzech na jiných univerzitách. Mezinárodní příchuť MSE mi také pomáhá získat průřez tím, co se děje ve školách po celém světě.
Komentáře
- Vynecháváte stále oblíbenou trikovou otázku, kde musíte přijít s nějakým Rube-Goldbergianským twistem, abyste měli nějaké naděje na vyřešení problému. Mnoho lidí tady je obviněno ze skládání hádanek, nikoli ze zkoušek …
- @vonbrand, to by pravděpodobně spadalo pod výzvu. Často takové problémy začínají odpovědí, objeví se nějaká temná magie zahrnující série a poté je student požádán, aby viděl vzor … ha ha ha … zlo.
Odpověď
Dva návrhy:
1) Zúčastněte se workshopů a konferencí a vyhledejte zasedání k řešení problémů nebo přednášející, kteří sdílejí své „oblíbené problémy“.„Když se diskutuje o problémech a řešeních, objeví se jedinečné metody a přístupy.
2) Vybudujte knihovnu a udělejte si čas na čtení. Shromažďujte knihy, soubory PDF a zdroje. Učebnice, která není vhodná pro studenty, může být skvělá zdroj problémů. (Použijte Amazon a eBay k získání použitých verzí, které jsou mnohem levnější.) Podle potřeby upravte verzi učebnice. Kreativita při vytváření problémů vychází z listování zdroji.
Komentáře
- Podívejte se na stránky olympiády z matematiky. Podívejte se na poznámky z přednášek, (vyřešené) zkoušky, domácí úkoly, … síť ‚ se tímto druhem hemží věcí.
Odpověď
Nespecifikovali jste konkrétní úroveň, ale myslím, že vaše otázka má své opodstatnění v každém případě. Vezmu to na úrovni K-8. Nejprve se chci zabývat vašimi konkrétními požadavky:
Pod pojmem „dobrý“ mám na mysli podnětné a inspirativní problémy s řešeními rozšiřitelnými na jiné domény.
Vyložím „inspirativní“ v tom smyslu, že studenti budou mít motivaci zapojit se do matematiky problému. Pro „provokování“ budu předpokládat, že máte na mysli, že problémy mají vysokou pravděpodobnost, že budou vyžadovat, aby se studenti zapojili do produktivního matematického uvažování. To jsou základní charakteristiky dobrého vyšetřování v učebních osnovách. To znamená, že dobré učební osnovy by měly obsahovat činnosti a vyšetřování, které je uspokojují.
Jednou jsem se zeptal známé vysoce kvalitní vývojářky osnov, jak věděla, že její problémy s osnovami odpovídají požadavkům „ realistické matematické vzdělávání „(což byl přístup, který inspiroval její osnovy. Odpověděla, že každou aktivitu v procesu výzkumu a vývoje si museli mnohokrát vyzkoušet se skutečnými studenty. Zatímco první návrhy mohly být založeny na teorii, ve skutečnosti bylo hotové učební osnovy těžce otestováno.
Proto vyhledávejte a sbírejte problémy vyvinuté dobrými návrháři osnov. V případě potřeby si vytvořte vlastní knihovnu takových problémů. / p>
Jedna závěrečná poznámka: navrhli jste, že chcete problémy, jejichž řešení bylo možné rozšířit na další domény. Navrhuji, abyste při hledání problémů postupovali opatrně s tímto předpokladem. Co pochopí v procesu pózování a řešení jim může pomoci vytvořit spojení interakce mezi kontexty. Může se vám však zdát obtížné podpořit v dobré literatuře o matematice pojem „doménová přenosná řešení“. Zaměřte se více na to, jaké matematické úvahy budou mít studenti příležitost a zdroje, aby se zapojili.