Jak mohu vykreslit složitý graf $ x ^ x $ v Mathematice?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Zde je pohled, který ukazuje, jak graf začíná spirála pro záporné hodnoty $ x $, pokud vezmeme v úvahu komplexní hodnoty.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Ve skutečnosti, pokud napíšeme $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, toto n aturally generallizes to $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; každé $ 2i \ pi k $ představuje další větev komplexního logaritmu. V této souvislosti vidíme, že tento graf tvoří pouze jednu spirálu rodiny spirál.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

V základních třídách můžete vidět tvrzení, že $ (p / q) ^ {p / q} $ je definováno pro $ p $ záporné a $ q $ liché a kladné. Takže včetně těchto bodů může graf vypadat asi takto:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Z komplexního pohledu vznikají tečky jako skvrny, kde jedno ze spirálových vláken propíchne rovinu $ x $ – $ z $.

Komentáře

• Jako odpověď jsem si vybral yulinlinyu ' s, protože odpověděl na mou otázku přímo a stručně – ale Mark Mcclure ' s odpověď jde nad rámec – a je skutečným klenotem v tomto vlákně!

Jak ukázal yulinyu ven, něco jako následující vám dá požadovaný spiknutí.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Také by vás mohlo zajímat tato vynikající odpověď od Simona Woodse k vytvoření grafu spiknutí přes složitou doménu. Díky jeho funkci a vyhodnocení následujícího získáte pěkný obrázek

domainPlot[#^# &] 

Komentáře

• Na chvíli jsem si myslel, že kouřím …. ale ne
• Cvičíte své hypno-síly?

Nové funkce můžete použít ve funkcích M12 ReImPlot a ComplexPlot pro komplexní vizualizace funkce . Pomocí ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

a ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Také

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

provádí práci ve verzi 12.0.