Jak se může rychlost zvuku zvyšovat se zvyšující se teplotou?

Rychlost zvuku je dána:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

kde $ P $ je tlak a $ \ rho $ je hustota plynu. $ \ gamma $ je konstanta zvaná adiabatický index . Tuto rovnici nejprve vymyslel Newton a poté ji upravil Laplace zavedením $ \ gamma $ .

Rovnice by měla mít intuitivní smysl. Hustota je měřítkem toho, jak těžký je plyn, a těžké věci kmitají pomaleji. Tlak je měřítkem toho, jak tuhý je plyn, a tuhé věci oscilují rychleji.

Nyní se podívejme na vliv teploty. Při ohřevu plynu se musíte rozhodnout, zda budeme udržovat konstantní objem a necháme růst tlak, nebo udržujeme konstantní tlak a necháme růst objem, nebo něco mezi tím. Zvažme možnosti.

Předpokládejme, že udržujeme konstantní objem, v v takovém případě bude tlak stoupat, když ohříváme plyn. To znamená, že v rovnici (1) $ P $ roste, zatímco $ \ rho $ zůstává konstantní, takže rychlost zvuku stoupá. Rychlost zvuku se zvyšuje, protože „efektivně zvyšujeme tuhost plynu.

Předpokládejme, že udržujeme konstantní tlak a necháme plyn expandovat, když se zahřívá. To znamená, že v rovnici (1) $ \ rho $ klesá, zatímco $ P $ zůstává konstantní a opět rychlost zvuku se zvyšuje. Rychlost zvuku se zvyšuje, protože „děláme plyn lehčí, aby osciloval rychleji.

A pokud zvolíme střední směr a necháme zvýšit tlak a hlasitost, pak $ P $ se zvyšuje a $ \ rho $ klesá a opět se zvyšuje rychlost zvuku.

Takže ať děláme cokoli , zvýšení teploty zvyšuje rychlost zvuku, ale dělá to různými způsoby v závislosti na tom, jak necháme plyn expandovat, když se zahřívá.

Stejně jako poznámka pod čarou, ideální plyn se řídí rovnicí stát:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

kde $ n $ je počet molů plynu. (Molární) hustota $ \ rho $ je pouze počet molů na jednotku objemu, $ \ rho = n / V $ , což znamená $ n = \ rho V $ . Pokud dosadíme za $ n $ v rovnici (2), dostaneme:

$$ PV = \ rho VRT $$

, které se přeskupí na:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Nahraďte to rovnicí (1) a dostaneme:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

takže:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

což je místo, kde jsme přišli. V této podobě však rovnice zakrývá, o co ve skutečnosti jde, a proto váš zmatek.

Experimentálně je konstanta proporcionality pro výše uvedenou rovnici přibližně . 20.

Komentáře

• Chtěli jsme vás informovat, že vaše odpověď lidem pomáhá i o 6 let později … I ‚ jsme strávili asi hodinu pokusem najít intuitivní vysvětlení tohoto vzorce a vy jste ‚ vše velmi dobře shrnuli do několik vět 🙂

Skvělá otázka. Krátká odpověď je, že vaše intuice (o hustých látkách, které mají vyšší rychlost zvuku) je pravděpodobně ovlivněna různými materiály při stejné teplotě a je znečištěna pevnými látkami, když jde o plyn, který se liší.

Podívejme se na některá data:

Vzduch je řídký a má nízkou rychlost zvuku 760 mph. Těžší věci, jako je měď, jsou husté a mají vyšší rychlost zvuku.Steel má rychlost zvuku 10 000 mph !

Takže vaše intuice není příliš špatná, že?

A co studený vzduch vs. horký vzduch? Studený vzduch je hustší, ale má nižší rychlost zvuku! Zde můžeme vidět váš krásný paradox.

Ukázalo se, že odpuzování způsobené vnějšími kompresními vlnami (to, čemu jste říkali mechanické vlny) v pevné látce jako kov, se vytváří z jiných mechanismů než stlačitelný plyn. Tlaková vlna v pevné látce stlačí relativně stacionární ionty v mřížce. Mřížka je velmi silná a atomy se nepohybují, ale mohou vibrovat. Pokud vymáčknete trochu oceli, tuto mřížku trochu stlačíte, ale funkční závislost elektrických polí v této mřížce je poměrně složitá. k otázce zde je, snad, zjevným výsledkem, že závislost na teplotě nebude příliš silná, protože funkce síly (vzdálenosti) určuje, jak rychle narušení projde mřížkou a vyhraje energie, kterou dáte atomům v mřížce „Zde moc nezměníme vztah křivky mřížka-vzdálenost-síla.

Plyn je mnohem jiné zvíře v tom, že kolem něj letí jen spousta nezávislých částic. Zde je rychlost zvuku , v podstatě vážený průměr rychlejších molekul plynu, které se samozřejmě pohybují se druhou odmocninou energie / teploty.

Ve srovnání s pevnou látkou je otázkou, jaká je rychlost zvuku v plynu je naprosto triviální. Přečtěte si th je nebo toto nebo pro získání představy o tom, jak složitější jsou pevné látky. Kdybych dal fyzikům pouze atomové vlastnosti (ne věci jako objemový modul) pevné látky jako měď a také plynu jako O $ _ \ rm 2 $, byli by schopni počítat, alespoň pomocí jednoduché kalkulačky, rychlost zvuku v O $ _ 2 rm.

Rychlým způsobem, jak zafixovat svou intuici, je zaznamenat rychlost zvuku v pevné látce při absolutní nule vs. plyn. Pouze druhý je nula. Ve skutečnosti proto nemohou plyny existovat poblíž absolutní nuly. Molekuly v dostatečně studeném plynu dokonce nemají dostatek energie, aby se od sebe dostaly, takže musí být místo toho kapalné nebo pevné.

Doufejme, že nyní vidíte, že vaše minulé zkušenosti skutečně platily pouze pro různé materiály, ne pro jednotlivé materiály jako funkce teploty.

Výsledkem je šíření zvukových vln médiem kolizí mezi molekulami. Při vyšších teplotách mají molekuly větší kinetickou energii a při rychlejším pohybu dochází ke kolizím při vyšší frekvenci a rychleji přenášejí zvukové vlny. Větší kinetická energie = menší setrvačnost = zvýšená rychlost.

Protože však zvukové vlny jsou kompresní vlny procházející stlačitelným médiem, jejich rychlost závisí nejen na setrvačnosti média, ale také na jeho pružnosti.

Obecně platí, že čím jsou molekuly blíže k sobě, tím rychleji nést zvukové vlny. Ačkoli vzdálenost mezi molekulami má tendenci se zvětšovat, když je médium je zahřátý, je to relativně méně důležité pro rychlost zvuku v daném médiu, než je rychlejší pohyb molekul.

Vyšší teplota. znamená vyšší rychlost pro molekulu, takže se srazí s další molekulou v rychlejším čase, i když jsou daleko od každé. na druhé straně nižší teplota. znamená nižší rychlost, a proto může také kolidovat s blízkým sousedem delší dobu. merci!

Víme, že tempratická a kinetická energie jsou přímo úměrné. Když se zvýší teplota, zvyšuje se kinetická energie molekul vzduchu a molekuly se pohybují rychleji. Díky čemuž se šíření zvuku provádí rychle, zvyšuje se rychlost.