Pokud je standardní normální soubor PDF $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
a CDF je $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
jak se to promění v chybovou funkci $ z $?
Komentáře
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Viděl jsem to, ale začíná to ERF již definováno.
- No, ' je definice erf a definice normálního CDF. Vztahy, které lze odvodit některými rutinními výpočty, jsou zobrazeny jako jak převádět mezi nimi a jak převádět mezi jejich inverzemi.
- Omlouvám se,
nevidím '. Například CDF je od -Inf do x. Jak tedy jde ERF z 0 na x? - Znáte techniku výpočtu proměnné? Pokud ne, naučte se, jak na to.
Odpovědět
Protože se to v některých systémech často objevuje (například instance Mathematica trvá na vyjádření Normálního CDF ve smyslu $ \ text {Erf} $), je dobré mít takové vlákno, které dokumentuje vztah.
Podle definice je chybová funkce
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Psaní $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ znamená $ t = z / \ sqrt {2} $ (protože $ t $ není záporné), odkud $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Koncové body $ t = 0 $ a $ t = x $ se stane $ z = 0 $ a $ z = x \ sqrt {2} $. Chcete-li převést výsledný integrál na něco, co vypadá jako kumulativní distribuční funkce (CDF), musí být vyjádřeno jako integrály, které mají dolní limity $ – \ infty $, tedy:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ vpravo). $ $
Tyto integrály velikosti pravé ruky jsou obě hodnoty CDF standardní normální distribuce,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Konkrétně
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Toto ukazuje, jak vyjádřit chybovou funkci ve smyslu normálního CDF. Algebraická manipulace s tím snadno dává normální CDF, pokud jde o chybovou funkci:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Tento vztah (tak jako tak pro reálná čísla) je zobrazen v grafech těchto dvou funkcí. Grafy jsou identické křivky. Souřadnice funkce Chyba vlevo jsou převedeny na souřadnice $ \ Phi $ vpravo vynásobením souřadnic $ x $ $ \ sqrt {2} $, přidáním $ 1 $ k souřadnicím $ y $ a poté vydělením souřadnic $ y $ $ 2 $, což odráží vztah
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
, ve kterém notace výslovně zobrazuje tyto tři operace násobení, sčítání a dělení.
Komentáře
- Myslím, že $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ je správné způsob, jak je spojit, s ohledem na průměr a směrodatnou odchylku.