Předpokládejme, že máme Hamiltonian na $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dagger} + A)) $$ Známe také $ AA ^ {\ dagger} = A ^ {\ dagger} A-1 $ a $ A ^ 2 = 0 $, necháme $ W = A ^ {\ dagger} A $
Jak můžeme vyjádřit $ H $ jako $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Zatím jsem ukázal, že když vezmeme v úvahu vlastní hodnoty $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ To znamená, že $ A | \ psi \ rangle $ a $ A ^ {\ dagger} | \ psi \ rangle $ jsou také vlastní vektory $ W $ s vlastní hodnotou $ 1-w $. Pomocí $ A ^ 2 = 0 $ zjistíme, že $ w = 0 $ nebo $ 1 $
Nejsem si úplně jistý, jak postupujete při vyjadřování operátorů jako matic, protože většina můj kurz používal notaci vlnových funkcí, opravdu bych ocenil, kdyby zde někdo mohl vysvětlit další kroky, abych tomu mohl důkladněji porozumět.
Komentáře
- Dokážete vyřešit pro A, ze 2 rovnic, které jsi napsal? předpokládejme obecná komplexní čísla a, b, c, d jako maticové hodnoty A. Mám podezření, že by to mohlo fungovat.
Odpověď
Jak @MichaelBrown v odpovědi zdůraznil, k získání maticového prvku stačí operátor sendvičovat mezi dvěma státy. Takže v případě vašeho Hamiltonian $ H $ jsou prvky matice uvedeny jako $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Měl bych zdůraznit, že $ i $, které používáte, by mělo být základní sadou, ve které se nacházíte. Pokud máte stav $ \ psi $, pak pokud $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ pouze než můžete tímto způsobem vyjádřit maticové prvky vašeho operátora. Pokud operátor umístíte mezi samotný stát, skončíte s očekáváním stavu. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Komentáře
- Děkujeme, že jste si našli čas na odpověď. Jak jsem však řekl MichaelBrownovi, jak to mohu v této situaci použít? Kde vím jen dva vlastní vektory a jejich odpovídající vlastní čísla.
Odpověď
Maticový prvek $ O_ {ij} $ operátora je definován $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ a je tradiční, že index $ i $ označuje řádek a $ j $ označuje sloupec. Maticové násobení tak funguje jako vy očekával by: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$, které můžete zobrazit vložením kompletní sady stavů.
Komentáře
- Děkuji vám za odpověď, ale jak to mohu v této situaci použít? Kde vím jen dva vlastní vektory a jejich odpovídající vlastní čísla.