Moje otázka je, jak vypočítat chybu typu II $ \ beta $?
-
Předpokládám, že chci otestovat $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (musím vypočítat chybu typu II $ \ beta $, takže musím opravit $ \ mu $, řekněme 1, v $ H_1 $).
-
Předpokládejme, že distribuce pro $ H_0 $ je $ F_0 $, $ H_1 $ je $ F_1 $, kde $ E [\ xi] = 0 $, pokud $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $, pokud $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Nyní vytvořím odhad pro $ \ mu $, řekněme $ \ bar {X} _n $ a testovací statistiku $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (předpokládejme $ \ sigma $ is known).
-
Nyní vytvořím pravidlo odmítnutí ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Chyba typu II se počítá jako $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Moje otázky jsou (chcete ověřit tři věci):
-
Výše uvedená logika konstrukce je správná, že?
-
Distribuce v „$ P_ {F_1} (S_n > b) $“ je $ F_1 $, že?
-
[nejvíce se zajímám] $ S_n $ v „$ P_ {F_1} (S_n > b) $“ by mělo k výpočtu používat $ F_0 $, že?
-
Chci říct, bez ohledu na chybu typu I nebo typu II, kterou počítám, musím k výpočtu statistik testu vždy použít $ F_0 $, že?
-
Chci říct, $ S_n $ je vždy $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ v chybovém výpočtu typu I nebo typu II ale při výpočtu $ \ beta $ ne $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $, ne?
-
Nebo, to by neměl být problém, protože statistika testů je pouze funkcí vzorku a neměla by zahrnovat parametry?
-
Komentáře
- Chyba typu II nezavrhuje nulovou hypotézu, pokud je nepravdivá, tj. $ H_1 $ je pravda. Myslím, že byste měli použít $ F_1 $ k výpočtu P, ale ne $ F_0 $, jak jste napsali $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Můžete také odkázat na výpočet výkonu, který je založen na parametru $ H_1 $ a Type II $ \ beta $ = 1-power
- Děkuji! Máš pravdu. Udělal jsem chybu. Je to $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ za chybu typu II.
Odpověď
Označte $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ jako distribuce podle nulové hypotézy a $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ pod $ H_1 $, takže máte testovací statistiku $ X $ a chcete testovat
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Jak to popisujete, chcete provést jednostranný test a definujete kritickou oblast v pravém ocasu. Takže poté, co jste zvolili úroveň spolehlivosti $ \ alpha $, použijete distribuci $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ k nalezení kvantilové hodnoty $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ takové, že $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (předpokládám kontinuální distribuce). Superindex $ (0) $ označuje, že pravděpodobnosti jsou měřeny pod $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, , takže potřebujete nulovou distribuci $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ k definování kritické oblasti, tj. Kvantilu $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Ze vzorku můžete sledovat výsledek $ x $ pro náhodnou proměnnou $ X $ a null bude odmítnuta, když $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Jinými slovy, váš test rozhodne, že $ H_1 \ textrm {rozhodlo jako true} \ iff x \ v [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
síla vašeho testu je pravděpodobnost, že $ H_1 $ je rozhodnuto jako pravdivé kdykoli je $ H_1 $ pravdivé , takže síla je pravděpodobnost, že $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, kdykoli je $ H_1 $ pravdivé, toto je pravděpodobnost, že $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, když je skutečná distribuce $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ nebo síla $ \ mathcal {P} $ je
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Kde superindex $ (1) $ označuje, že se pravděpodobnosti počítají pod $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Výkon se tedy měří pomocí $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, ale potřebujete hodnotu $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $, která se počítá pomocí $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Použil jsem sílu $ \ mathcal {P} $ a chyba typu II $ \ beta $ je $ \ beta = 1 \ mathcal {P} $.
Ve vašem případě
Máte pravdu, když říkáte, že „„ Distribuce v “$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ „je $ F_1 $“ „
Chcete-li však najít $ b $, budete muset použít $ F_0 $. Ve skutečnosti je $ b $ analogem $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $