Chtěl bych se naučit, jak vypočítat očekávanou hodnotu spojité náhodné proměnné. Zdá se, že očekávaná hodnota je $$ E [X] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \ mathrm {d} x $$, kde $ f (x) $ je funkce hustoty pravděpodobnosti z $ X $.
Předpokládejme, že funkce hustoty pravděpodobnosti $ X $ je $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {- x ^ {2}} {2}} $$, což je hustota standardního normálního rozdělení.
Takže bych nejprve připojil PDF a dostal $$ E [X] = \ int_ { – \ infty} ^ {\ infty} x \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x $$ které je docela chaoticky vypadající rovnice. Konstantu $ \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} $ lze přesunout mimo integrál, čímž získá $$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ frac {-x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x. $$
Uvíznu zde. Jak vypočítám integrál? Dělám to tak daleko správně? Je nejjednodušší způsob, jak získat očekávanou hodnotu?
Komentáře
- název vaší otázky je zavádějící. Ve skutečnosti se pokoušíte vypočítat očekávanou hodnotu standardní normální náhodné proměnné. Můžete také vypočítat očekávanou hodnotu funkce RV. Raději bych vložil do názvu: “ Jak vypočítat očekávanou hodnotu standardního normálního rozdělení. “ Nebo “ Jak vypočítat očekávanou hodnotu spojité náhodné proměnné. “
- @Gu ð mundurEinarsson opraven.
- “ uvízl jsem zde. Jak vypočítám integrál? “ Najděte derivaci $ -e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} $. (Ne, nejsem zdrženlivý a nenavrhuji vám zbytečnou práci; myslím to smrtelně vážně; Prostě to udělejte!). Pak se velmi přísně dívejte na derivaci, kterou jste našli.
Odpověď
Jste téměř tam, sledujte svůj poslední krok:
$$ E [X] = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xe ^ {\ displaystyle \ frac { -x ^ {2}} {2}} \ mathrm {d} x \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ { -x ^ 2/2} d (- \ frac {x ^ 2} {2}) \\ = – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} \ mid _ {- \ infty} ^ {\ infty} \\ = 0 $$.
Nebo můžete přímo použít skutečnost, že $ xe ^ {- x ^ 2/2} $ je zvláštní funkce a limity integrálu jsou symetrie.
Komentáře
- Argument symetrie funguje, pouze pokud jsou obě poloviny konvergentní.
- Mohl byste vysvětlit, co se stane ve druhém řádku?
- Komentář Glen ‚ je správný, pokud není konvergentní, pak změna proměnných nebude fungovat
- Druhý řádek se rovná prvnímu řádku, protože $ d (- \ frac {x ^ 2} {2}) = – xdx $ si také všimne záporného znaménka na začátku. Pak vás napadne změna proměnné pro integraci, pak ji změníte zpět, protože limity se nezměnily. Nebo můžete použít integraci po částech. A pamatujte $ \ int_ {a} ^ {b} e ^ y dy = e ^ y \ mid_ {a} ^ {b} $
- Chcete-li použít symetrii k získání střední hodnoty, musíte vědět, že $ \ int_0 ^ \ infty xf (x) dx $ konverguje – v tomto případě ano, ale obecně to ‚ nemůžete předpokládat. Například argument symetrie by řekl, že průměr standardního Cauchyho je 0, ale žádný ‚ nemá.
Odpověď
Protože se chcete naučit metody výpočtu očekávání a chcete znát několik jednoduchých způsobů, bude vám používání funkce generování momentů (mgf)
$$ \ phi (t) = E [e ^ {tX}]. $$
Metoda funguje obzvláště dobře, když distribuční funkce nebo její hustota jsou uvedeny jako exponenciály samotné. V tomto případě nemusíte ve skutečnosti provádět žádnou integraci poté, co sledujete
$$ t ^ 2/2 – \ left (x – t \ right) ^ 2/2 = t ^ 2 / 2 + (-x ^ 2/2 + tx – t ^ 2/2) = -x ^ 2/2 + tx, $$
protože zápis standardní funkce normální hustoty na $ x $ jako $ C e ^ {- x ^ 2/2} $ (pro konstantní $ C $, jehož hodnotu nebudete potřebovat znát), toto vám umožní přepsat jeho mgf jako
$$ \ phi ( t) = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {tx} e ^ {- x ^ 2/2} dx = C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- x ^ 2/2 + tx} dx = e ^ {t ^ 2/2} C \ int_ \ mathbb {R} e ^ {- (xt) ^ 2/2} dx. $$
Na pravé straně za $ e ^ {t ^ 2/2} $ výraz, poznáte integrál celkové pravděpodobnosti normálního rozdělení s průměrným $ t $ a rozptylem jednotek, což je tedy $ 1 $. Následně
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2}. $$
Protože normální hustota při velkých hodnotách klesá tak rychle, nevznikají problémy s konverzí bez ohledu na hodnotu $ t $. $ \ phi $ je zřetelně analytický na $ 0 $, což znamená, že se rovná jeho řadě MacLaurin
$$ \ phi (t) = e ^ {t ^ 2/2} = 1 + (t ^ 2/2 ) + \ frac {1} {2} \ vlevo (t ^ 2/2 \ vpravo) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {k!} \ vlevo (t ^ 2/2 \ vpravo) ^ k + \ cdots.$$
Protože však $ e ^ {tX} $ konverguje absolutně pro všechny hodnoty $ tX $, můžeme také psát
$$ E [e ^ {tX}] = E \ left [1 + tX + \ frac {1} {2} (tX) ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} (TX) ^ n + \ cdots \ right] \\ = 1 + E [X] t + \ frac {1} {2} E [X ^ 2] t ^ 2 + \ cdots + \ frac {1} {n!} E [X ^ n] t ^ n + \ cdots. $$
Dvě konvergentní výkonové řady mohou být stejné, pouze pokud jsou si rovné po jednotlivých výrazech, odkud (při porovnání výrazů zahrnujících $ t ^ {2k} = t ^ n $)
$$ \ frac {1} {(2k)!} E [X ^ {2k}] t ^ {2k} = \ frac {1} {k!} (t ^ 2/2) ^ k = \ frac {1 } {2 ^ kk!} T ^ {2k}, $$
implikující
$$ E [X ^ {2k}] = \ frac {(2k)!} { 2 ^ kk!}, \ K = 0, 1, 2, \ ldots $$
(a všechna očekávání lichých sil $ X $ jsou nulová). Prakticky bez úsilí jste získali očekávání všech kladných integrálních sil $ X $ najednou.
Variace této techniky mohou v některých případech fungovat stejně dobře, například $ E [1 / (1-tX)] = E [1 + tX + (tX) ^ 2 + \ cdots + (tX) ^ n + \ cdots] $, za předpokladu, že rozsah $ X $ je vhodně omezen. Mmg (a jeho blízký příbuzný charakteristická funkce $ E [e ^ {itX}] $) jsou tak obecně užitečné, že je najdete v tabulkách distribučních vlastností, například v položka Wikipedie v normální distribuci .