Jak vypočítat výšku hcp mřížky?

Vyzkoušíme to na základě podobností mezi hcp a ccp. Zde víme, že $ hcp $ a $ ccp $ mají podobnou mřížku kromě skutečnosti, že $ hcp $ je typ ABAB, zatímco $ ccp $ je typ ABCABC. Proto také víme, že jejich podíl na balení $ (\ phi) $ je stejný a $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Nyní, jak jste zmínil Objem hcp mřížky $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Celkem existuje 6 atomů v hcp. Proto $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Zjednodušeně to získáme výšku hcp mřížky $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Komentáře

• Zjistili jsme, že jejich podíl na balení je stejný po vyhodnocení objemu z výšky atd. Vaše odpověď funguje obráceně.

Chcete-li vypočítat výšku jednotkové buňky, zvažte čtyřboký prázdnotu v šestihranném uzavřeném balení. Lze si to představit jako 3 pevné koule, které se navzájem dotýkají, a ve středu máte nad nimi naskládanou další kouli. Interaktivní verzi lze zobrazit na tomto webu . Situace vypadá takto:

Pokud se připojíte ke středům těchto čtyř sfér, získáte čtyřstěn. To je v podstatě pyramida s trojúhelníkovou základnou. Předpokládám, že se každá hrana našeho čtyřstěnu rovná $ a $.

Nyní máte pyramidu ($ ABCD $) s rovnostrannou základnou ($ \ Delta BCD $), byl bych rád, kdybyste shodili kolmici z nejvyššího bodu ($ A $) na středovou ($ G $) trojúhelníkovou základnu. Pokud mě sledujete správně, budete mít podobnou postavu:

Vše, co musíme udělat teď je vypočítat délku $ AG $. K tomu jednoduše použijte Pythagorovu větu v $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Ačkoli víme, že $ AD = a $, strana $ GD $ zůstává neznámo. Ale to se dá snadno spočítat. Bod $ G $ je těžiště $ \ Delta BCD $. Délka $ GD $ se tedy rovná $ a / \ sqrt {3} $. Zapojením hodnot z naší první rovnice získáme $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Ale všimněte si, že toto je polovina výšky naší jednotkové buňky. Požadovaná výška je tedy $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

V šestihranné nejužší struktuře je $ a = b = 2r $ a $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , kde $ r $ je atomový poloměr atomu. Boky jednotkové buňky jsou kolmé k základně, tedy $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

Pro nejbližší -balená struktura, atomy v rozích základny jednotkové buňky jsou v kontaktu, tedy $ a = b = 2 r $ . Výška ( $ c $ ) jednotkové buňky, jejíž výpočet je náročnější, je $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

Nechte hranu šestihranné základny rovnou $ a $

A výška šestiúhelníku stejná $ h $

A poloměr koule stejný jako $ r $

Středová koule první vrstvy leží přesně nad prázdnotou 2. vrstvy B.

Středová koule a koule 2. vrstvy B jsou v kontaktu

Takže v $ \ Delta PQR $ ( rovnostranný trojúhelník):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ tečna v bodech

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Proto při výpočtu účinnosti balení hcp arr úhlu, výška jednotkové buňky je brána jako $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

FROM

Komentáře

• Co znamená trojúhelník teček?
• Jak to, že úhel QRS je 30 stupňů?