V naší přednášce jsme zatím definovali operátory tvorby $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ v takto jsme řekli:
Někdo vám získal antisymetrický nebo symetrický stav N- částice a nyní $ a ^ {\ dagger} _ {n} $ vloží další částice do stavu n, takže skončíme nahoru se symetrickým / antisymetrickým stavem částic N + 1. Tato interpretace je mi nějak jasná v tom smyslu, že tyto operátory $ a ^ {\ dagger}, $ se vyhýbají těžkopádným determinantům slaterů a tak dále. Přesto stále máme co do činění s dobře definovanými stavy symetrizovaných / antisymetrizovaných produktů, které se rozšíří nebo sníží o jeden stát, které se skrývají za touto notací.
Nyní jsme také definovali operátory polí v QM o $ \ psi ^ {\ dagger} (r) = \ sum_ {i; \ text {všechny státy}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dagger}. $ Řekli jsme, že vytvářejí částice na pozici $ r $ . Nějak mi není jasné, co to znamená:
Vytvoření částice na přesné pozici $ r_0 $ v QM by znamenalo, že nyní máme další stav $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ v našem rozhodujícím slateru. Pochybuji, že za tím stojí myšlenka. Ale protože operátoři $ a_i ^ {\ dagger} $ jednají ve stavu $ N $ – částice a mapují se na $ N + 1 $ částicové stavy, to samé musí platit pro $ \ psi ^ {\ dagger} (r) $ . Přesto mám potíže s interpretací výsledku.
Pokud je něco nejasného, dejte mi prosím vědět.
Odpovědět
$ \ psi_i $ ve vaší částce nemusí být delta funkcí. Můžete si například myslet, že jsou to vlastní energetické funkce $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$, takže vytvoření částice na $ r $ znamená, že získáte superpozici všech možných způsobů částice může být na $ r $ (v tomto konkrétním výběru základu): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dagger (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {komplexní čísla}} | i \ rangle $$, kde $ | 0 \ rangle $ je vakuový stav (nebo základní stav, pokud chcete) a $ | i \ rangle $ je Fockový stav s jednou částicou v n-tom režimu. Tuto rovnici si můžete představit tak, že pro každé $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ je amplituda pravděpodobnosti nalezení částice na pozici $ r $, pokud víte, že je ve stavu $ i $.
Komentáře
- interpretace vytváření superpozice všech možných způsobů, jak se může částice dostat na pozici $ r $, pro mě vypadá smysluplně. Mám na mysli to, co děláme, je, že pokud vám rozumím správně, vytvoříme částice v jakémkoli vlastním stavu a hledáme amplitudu pravděpodobnosti, že je tato částice v poloze $ r $. Co však ' nevidím, je, jak tento pojem souvisí se skutečným vytvořením částice na pozici $ r $. Pokud o tom přemýšlíte, pak jsou to dvě různé věci. Mohli byste zkusit vysvětlit, co chceme modelovat pomocí tohoto operátoru pole?
- Opravdu to záleží na kontextu. Interpretace " částice " není vždy vhodná, obecněji si můžete tyto operátory představit jako vytváření / zničení kvantových stavů. V kontextu QFT jsou to skutečně (obvykle) částicové stavy a $ | 0 \ rangle $ stav bez částic, a proto i terminologie. Ale například v NRQM to často není pravda a " vakuový stav " je v tomto případě pouze základní stav systému . " vytvoří " / " zničit " uvádí v tom smyslu, že posílají daný Fockův prostor do jiného s jedním dalším / menším stavem daného druhu.
Odpovědět
Ber to jako změnu základu. $ a_i ^ \ dagger $ vytvoří částici ve stavu $ | i \ rangle $. Nyní lze tento stav $ | i \ rangle $ zapsat z hlediska pozičních stavů $ | r \ rangle $ jako $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ tedy vytvoření částice v tomto stavu je ekvivalentní vytvoření částice v superpozici stavu polohy s příslušnou hmotností $ \ psi_i (r) $. Ekvivalentně lze částici lokalizovanou v $ | r \ rangle $ popsat jako v superpozici stavu $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ a tedy vytvořit částici ve stavu $ | r \ rangle $ je operátor $ \ psi ^ \ dagger (r) $ definován operátorem $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dagger $.
Komentáře
- omlouvám se, ale tato odpověď je velmi matoucí. zdá se, že součet přes pozice. Všimněte si, že tato poloha není diskrétní! Mám tedy vážné potíže pochopit váš $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: that ' (přemýšlejte o diskretizované verzi prostoru). Ale změnil jsem se na integrální, pokud se díky tomu budete cítit lépe.