Signál kroku jednotky definovaný jako
$$ u [n] = \ lbrace 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
má tři možná řešení pro reprezentaci Fourierovy domény v závislosti na typu přístupu. Jedná se o následující –
- Široce používaný přístup (Oppenheimova učebnice) – výpočet Fourierovy transformace funkce jednotkového kroku z Fourierovy transformace funkce signum.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourierova transformace vypočtená z Z transformace funkce jednotkového kroku (viz Proakis učebnice, Algoritmy a aplikace zpracování digitálního signálu , strany 267 268, část 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fourierova transformace vypočtená rozdělením na sudé a liché funkce – následuje v učebnici Proakis (viz učebnici Proakis, Algoritmy a aplikace pro zpracování digitálního signálu , strana 618 část 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
2. reprezentaci lze ignorovat, protože nejde o dobře vychovanou funkci. Ale přístupy, které sledují Proakis a Oppenheim, jsou stejně platné (rozšiřují Fourierovu transformaci tak, aby zahrnovaly impulsy ve frekvenční doméně). Ale nejasnosti spočívají v tom, že poskytují různá řešení.
Je v mém chápání nějaká chyba? nebo mi chybí nějaký zásadní bod ?? Laskavě mi pomozte pochopit tuto a správnou formu, kterou lze použít ve všech aplikacích. (Zjistil jsem, že přístup Oppenheim se používá k odvození vztahů Kramers-Kronig a přístup Proakis použit k odvození Hilbertovy transformace)
Answer
Všimněte si, že prvním výrazem je Fourierova transformace spojitého kroku jednotky $ u (t) $, takže není použitelná pro diskrétní sekvenci kroků $ u [ n] $. Druhý a třetí výraz jsou navíc správné a jsou identické, pokud vezmete v úvahu, že druhý výraz nenárokuje platnost na celočíselné násobky $ 2 \ pi $.
Pokud vynecháme úhlové frekvence na násobcích $ 2 \ pi $, třetí výraz se stane
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
který je shodný s druhým výrazem.
Komentáře
- Děkuji! Druhý a třetí jsou rovnocenné, ale ve třetím mají složení zahrnující impuls na pólech. Děkuji za objasnění
Odpověď
Jak řekl Matt, druhá a třetí definice jsou stejné, kromě část impulzivně. Impulzní ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) účet pro DC hodnotu $ u [n] $ . Bez tohoto výrazu (tj. Druhé definice) je to ve skutečnosti FT $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Máme $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . A proto má FT $ u [n] $ další termín, který zohledňuje přidání $ \ frac {1 } {2} $ . Diskrétní čas FT (nebo DTFT) $ u [n] $ je také správně zapsán jako $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
První definice, $ U (j \ omega) $ je „nepřetržitý čas „FT (nebo CTFT) z $ u (t) $ (ne $ u [n] $ ) a proto se liší od ostatních dvou definic.