Četl jsem, že kanonický komutační vztah mezi hybností a polohou lze chápat jako Lie Algebra skupiny Heisenberg . Zatímco chápu, proč komutační vztahy hybnosti a hybnosti, hybnosti a momentu hybnosti atd. Vyplývají ze skupiny Lorentz, úplně se nedostanu tam, odkud pramení fyzická symetrie skupiny Heisenberg.
Libovolné návrhy?
Komentáře
- Související: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Odpověď
Možná by vás zajímalo:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf kapitola 13,
tj. přednášky „Kvantová mechanika pro matematiky: Heisenbergova skupina a Schrodingerova reprezentace „Petera Woita, kde je podrobně diskutován význam Heisenbergovy skupiny. Její fyzický význam však NENÍ jako skupina symetrií fyzické situace. Buďte opatrní ohledně těsných analogií mezi kanonickou komutační relací a konečnou ( řekněme $ n $ ) dimenzionální Hiesenbergova Lieova skupina $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Věc na RHS vztahu $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ v konečné dimenzionální algebře $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ NENÍ matice identity – je to prostě něco, co dojíždí se vším ostatním v Lieově algebře. Byl to Hermann Weyl, kdo poukázal na to, že kanonický komutační vztah nemůže odkazovat na konečnou dimenzionální Lieovu algebru: v takových algebrách leží Lieova závorka $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (mezi čtvercovými maticemi) nemá žádnou stopu, ale matice identity (nebo skalární násobek, jako na RHS CCR) nikoli. Jeden musí předat operátorům na nekonečných dimenzionálních Hilbertových mezerách ( $ např. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) k nalezení plné realizace kanonického komutačního vztahu.
Dalším způsobem, jak pochopit, že chování konečné dimenzionální matice Heisenberg Lieovy algebry se radikálně liší od CCR, je samotný princip neurčitosti. Produkt nejistot RMS pro simultánní měření ze dvou pozorovatelů, které nedojíždějí $ \ hat {a}, \ hat {b} $ vzhledem k kvantovému stavu $ \ psi $ je zespodu ohraničen kladným reálným číslem $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ kde $ \ left [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (viz část 10.5 vydání 3 Merzbacherovy „Kvantové mechaniky“). Pokud $ c $ je konečná čtvercová matice a stejně jako v Heisenbergově algebře nemá úplnou řadu, existují určité stavy (ty v $ c $ „s nullspace), kde produkt nejistoty může být nulový. Algebra konečné dimenzionální matice tedy nemůže Heisenbergův fyzický postulát modelovat.
Viz také článek Wikipedie o skupině Heisenberg.
Komentáře
- Drobný komentář k odpovědi (v2): Znaménko v zobrazené Schroedingerově reprezentaci $ p $ není konvenční znaménko.