Jaký je rozdíl mezi fázovým zpožděním a skupinovým zpožděním?

Nejprve se definice liší:

• Fázové zpoždění: (zápor) Fáze děleno frekvencí
• Skupinové zpoždění: (zápor) První derivace fáze vs. frekvence

Slovy to znamená:

• Fázové zpoždění: Fázový úhel v tomto bodě ve frekvenci
• Skupinové zpoždění: Rychlost změny fáze kolem tohoto bodu ve frekvenci.

Kdy použít jeden nebo druhý, opravdu záleží na vaší aplikaci. Klasickou aplikací pro skupinové zpoždění jsou modulované sinusové vlny, například AM rádio. Čas potřebný k tomu, aby modulační signál prošel systémem, je dán skupinovým zpožděním, nikoli fázovým zpožděním. Dalším zvukovým příkladem může být kick buben: Jedná se většinou o modulovanou sinusovou vlnu, takže pokud chcete zjistit, o kolik bude kick buben zpožděn (a potenciálně rozmazán v čase), způsob, jak se na to podívat, je skupinové zpoždění.

Komentáře

• “ Absolutní fáze v tomto bodě ve frekvenci “ Nedalo by se ‚ nazvat “ fáze „?
• myslel jsem “ absolutní “ ve srovnání s “ relativní „, ale vidím, že to lze zaměnit s “ absolutní hodnotou „. ‚ upravím to
• poslední důležitý rozdíl: fázové zpoždění na určité frekvenci $ f $ je časové zpoždění Filtrem prošla fáze kvazi-sinusového signálu o frekvenci $ f $. skupinové zpoždění je časové zpoždění obálky nebo “ skupiny “ kvazi-sinusoidu.

Neměří oba kolik je sinusoida zpožděna. Fázové zpoždění to přesně měří. Skupinové zpoždění je trochu komplikovanější. Představte si krátkou sinusovou vlnu s aplikovanou amplitudovou obálkou tak, aby zeslabovala a zeslabovala, řekněme, gaussián vynásobený sinusoidem . Tato obálka má svůj tvar a zejména má vrchol, který představuje střed tohoto „paketu.“ Skupinové zpoždění vám řekne, o kolik bude tato amplitudová obálka zpožděna, zejména o kolik bude vrchol tohoto paketu. se pohne o.

Rád bych o tom přemýšlel návratem k definici skupinového zpoždění: je to derivace fáze. Derivace vám poskytne linearizaci fázové odezvy v daném bodě. Jinými slovy, při určité frekvenci vám skupinové zpoždění říká, jak přibližně souvisí fázová odezva sousedních frekvencí s fázovou odezvou v daném bodě. Nyní si pamatujte, jak „používáme sinusoidu modulovanou amplitudou. Amplitudová modulace vezme vrchol sinusoidy a zavede postranní pásma na sousedních frekvencích. Skupinové zpoždění vám tedy svým způsobem poskytuje informace o tom, jak budou postranní pásma zpožděna vzhledem k této nosné frekvenci, a použití tohoto zpoždění nějakým způsobem změní tvar amplitudové obálky.

šílená věc? Kauzální filtry mohou mít záporné skupinové zpoždění!Vezměme si gaussian vynásobený sinusoidem: můžete vytvořit analogový obvod tak, že když pošlete tento signál skrz, vrchol obálky se objeví na výstupu před vstupem. Vypadá to jako paradox, protože se zdá, že filtr musí „vidět“ do budoucnosti. Je to rozhodně divné, ale způsob, jak o tom přemýšlet, je ten, že protože obálka má velmi předvídatelný tvar, filtr již má dostatek informací k předvídání toho, co se stane. Pokud by byl uprostřed signálu vložen hrot, filtr by to nepředpokládal. Zde je opravdu zajímavý článek o tomto: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Komentáře

• Když řeknete “ obrázek a … „, skutečný obrázek by byl opravdu užitečný zde.

Pro ty, kteří stále neumí křídovat, je zde rozdíl jednoduchým příkladem

Vezměte dlouhé přenosové vedení s jednoduchým kvazi-sinusovým signálem s amplitudovou obálkou, $ a (t) $ , na jeho vstupu

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Pokud měříte tento signál při přenosu konec řádku, $ y (t) $ , může to přijít někde takto:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

kde $ \ phi $ je fázový rozdíl od vstupu do výstup.

Pokud chcete, kolik času v něm trvá fáze sinusoidy, $ \ sin (\ omega t) $ přenos ze vstupu na výstup a poté $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ je vaše odpověď během několika sekund.

Pokud chcete, kolik času za to trvá obálka , $ a (t) $ sinusového přenosu ze vstupu na výstup a poté $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ je vaše odpověď během několika sekund.

Fázové zpoždění je pouze doba cestování pro jednu frekvenci, zatímco skupinové zpoždění je míra zkreslení amplitudy, pokud je použito pole více frekvencí.

Vím, že je to docela stará otázka, ale na internetu jsem hledal odvození výrazů pro skupinové a fázové zpoždění. Na internetu není mnoho takových derivací, takže jsem si myslel, že se podělím o to, co jsem našel. Pamatujte také, že tato odpověď je spíše matematickým popisem než intuitivním. Pro intuitivní popisy se podívejte na výše uvedené odpovědi. Takže zde jde:

Pojďme uvažovat o signálu

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

a předejte to prostřednictvím LTI systém s frekvenční odezvou

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Zisk systému jsme považovali za jednotu, protože nás zajímá analýza toho, jak systém mění fázi vstupního signálu, spíše než zisk. Nyní, vzhledem k tomu, že násobení v časové doméně odpovídá konvoluci ve frekvenční doméně, je Fourierova transformace vstupního signálu dána vztahem

$$ X (j \ omega) = {1 \ přes 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

což odpovídá

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ přes 2} $$

Proto má výstup systému frekvenční spektrum dané

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ přes 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Nyní, abychom našli inverzní Fourierovu transformaci výše uvedeného výrazu, potřebujeme znát přesnou analytickou formu pro $ \ phi (\ omega) $ . Abychom to zjednodušili, předpokládáme, že obsah frekvence $ a (t) $ zahrnuje pouze ty frekvence, které jsou výrazně nižší než nosná frekvence $ \ omega_0 $ . V tomto scénáři lze signál $ x (t) $ zobrazit jako amplitudově modulovaný signál, kde $ a (t ) $ představuje obálku vysokofrekvenčního kosinového signálu. Ve frekvenční doméně $ B (j \ omega) $ nyní obsahuje dvě úzká pásma frekvencí soustředěná na $ \ omega_0 $ a $ – \ omega_0 $ (viz výše uvedená rovnice).To znamená, že můžeme použít Taylorovu řadu rozšíření prvního řádu pro $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

kde $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {zarovnat} $ $

Když to zapojíme, můžeme vypočítat inverzní Fourierovu transformaci první poloviny $ B (j \ omega) $ as

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Střídání $ \ omega – \ omega_0 $ po dobu $ \ omega „$ , toto se stane

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega „)) e ^ {j ((\ omega“ + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega „$$

což zjednodušuje

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Zapojení výrazů pro $ \ alpha $ a $ \ beta $ , toto se stane

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Podobně druhá polovina inverzní Fourierovu transformaci $ B (j \ omega) $ lze získat nahrazením $ \ omega_0 $ autor: $ – \ omega_0 $ . U skutečných signálů je $ \ phi (\ omega) $ zvláštní funkce, která se stává

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Takto přidáním dvou dohromady získáme $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Všimněte si zpoždění v obálce $ a (t) $ a kosinový signál nosné. Skupinové zpoždění $ (\ tau_g) $ odpovídá zpoždění v obálce, zatímco fázové zpoždění $ (\ tau_p) $ odpovídá zpoždění v nosné.

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Fázové zpoždění libovolného filtru je časové zpoždění, které každá frekvenční složka trpí procházením filtry (Pokud se signál skládá z několika frekvencí.)

Skupina delay je průměrné časové zpoždění složeného signálu, které utrpí každá složka frekvence.