Řekněme, že nějak 100 $ (1- \ alpha) \% $ interval spolehlivosti populační průměr $ \ mu $ je známý jako $ (a, b) $ a počet vzorků is $ n $ . Je možné z těchto informací odvodit bodové odhady střední hodnoty populace a rozptylu populace? V tomto případě se předpokládá, že populace sleduje normální rozdělení.
Jedna myšlenka je, že protože interval spolehlivosti střední hodnoty populace lze vypočítat, pokud známe průměrnou hodnotu vzorku $ \ overline {x} $ a rozptyl populace $ \ sigma ^ {2} $ : $$ \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac { \ sigma} {\ sqrt {n}} \ leq \ mu \ leq \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {n}} $$ , lze nastavit $ a = \ overline {x} -z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ , $ b = \ overline {x} + z _ {\ alpha / 2} \ frac {\ sigma} {n} $ a řešení pro $ \ overline {x} $ a $ \ sigma $ . V tomto případě lze $ \ overline {x} $ určitě považovat za bodový odhad průměrné hodnoty populace. A co $ \ sigma ^ {2} $ ? Je to „skutečná“ populační varianta nebo je to jen „bodový odhad“ populační variance? Jsem opravdu zmatený z toho, jak by měl být v tomto případě interpretován $ \ sigma ^ {2} $ .
Odpověď
Můžete odvodit $ \ bar {x} $ a $ \ sigma ^ 2 $ , která vygenerovala tento interval spolehlivosti, ano. Znalost velikosti vzorku a $ \ alpha $ -level je však zásadní a bez těchto informací nelze problém vyřešit.
Z- založený interval spolehlivosti znamená známou odchylku, která se používá při výpočtu intervalu spolehlivosti, takže když použijete šířku k řešení odchylky, řešíte skutečnou odchylku $ \ sigma ^ 2 $ , nikoli odhad $ s ^ 2 $ . Pokud je interval spolehlivosti založen na t, pak byste řešili $ s ^ 2 $ .
Šířka spolehlivosti založené na z interval nezávisí na datech, protože znáte rozptyl populace. Když znáte parametr, neobtěžujete se jej odhadnout.
Komentáře
- Pokud jsem dobře porozuměl, odpověď by závisela na tom, zda interval spolehlivosti byl odvozen metodou založenou na z nebo metodou t. Děkujeme vám za odpověď.
- Tím se dostáváme k tomu, proč používáme intervaly založené na z a intervaly spolehlivosti založené na t. Pokud jsme známe populační rozptyl, neobtěžujeme se ' t s intervaly spolehlivosti založenými na t a interval založený na z má svou šířku určenou $ \ sigma ^ 2 / 2 $. Když neznáme ' populační rozptyl (skoro vždy), odhadneme rozptyl populace o $ s ^ 2 $ a použijeme intervaly spolehlivosti založené na t nejistota kolem odhadu (tj. zohlednění skutečnosti, že náš odhad může být špatný odhad).