Vím, že podle Heisenbergova principu neurčitosti není možné přesně znát přesné hodnoty polohy a hybnosti částice, ale můžeme to vědět přesné hodnoty hybnosti a rychlosti částice současně? Myslel bych si, že odpověď bude ne, protože i kdybychom si byli 100% jistí polohou částice, nebyli bychom si úplně jistí hybností částice, což nás činí také zcela nejistý rychlostí částice. Má k tomu někdo nějaký vhled?
Odpověď
Je celkem běžné diskutovat o dvou extrémech principu neurčitosti, sinusoidu a funkce delta. Jeden má dokonale definovanou vlnovou délku, ale žádnou polohu, druhý má dokonale definovanou polohu, ale žádnou vlnovou délku.
Ani jeden z těchto tvarů však není pro fyzikální vlnovou funkci částice příliš fyzikální. Skutečná sinusová vlnová funkce by se rozšířilo do celého prostoru, což je absurdní z několika důvodů (včetně přítomnosti jiné hmoty). Pravá delta funkce by stejně pravděpodobně měla jakoukoli hybnost, která by pravděpodobně porušila zachování energie. Takže tyto dvě extrémní limity jsou matematicky zajímavé, ale ne fyzicky relevantní.
Vzhledem k otázce „Stanovuje princip neurčitosti určitou vazbu na to, že hybnost a rychlost jsou současně dobře definované?“, odpověď zní ne.
Vzhledem k tomu otázka „Zakazuje mi princip neurčitosti měřit libovolnou proměnnou s nekonečnou přesností?“, odpověď zní ne.
Vzhledem k otázce „Má něco zakazujte mi měřit s nekonečná přesnost? „, odpověď je ano .
Takže vaše otázka zmiňuje„ přesné hodnoty “, což je velmi zajímavá, trnitá předmět. (Je někdy možné změřit přesnou hodnotu? Jak bychom zjistili rozdíl?) Jste opravdu zvědaví na „přesné hodnoty“? Zajímá vás, kde Heisenbergův princip nejistoty funguje a co neplatí? Nebo jste zvědaví, jestli kromě principu neurčitosti existují i jiné hranice naší schopnosti měřit?
Komentáře
- Ptal jsem se jen proto, bylo to položeno na testu a byl jsem zvědavý, jak znát odpověď poté, co jsem test absolvoval. Vím, že princip neurčitosti se zabývá energií a časem, a pak se také zabývá polohou a hybností. Takže jsem si myslel, že kdybychom hypoteticky měřili polohu s přesnou jistotou, pak bychom byli zcela nejistí ohledně její polohy, tedy naprosto nejistí ohledně její rychlosti. Chtěl jsem vědět jen to, jestli nejistota ohledně polohy zajišťuje nejistotu o rychlosti
- Pokud ignorujeme relativistické efekty, pak jsou rychlost a hybnost přímo úměrné navzájem s částicemi ‚ s odpočinkovou hmotu jako konstantu proporcionality, takže pokud znáte přesně jednu, získáte druhou zdarma.
Odpovědět
Pokud jsou ve vaší teorii operátory hybnosti a operátory rychlosti vzájemně úměrné, pak ano. Znát vlastní číslo znamená znát druhé. U jakékoli funkce „známého“ operátoru to vždy platí.
Komentáře
- I ‚ m v základní fyzice 3 na Georgia Tech to beru jako volitelný předmět, takže jsem se ‚ nedostal tak daleko. I ‚ se na to určitě podívám
Odpovědět
Vlastní hodnoty rychlosti Diracova rovnice jsou $ \ pm c $. To je dobře známé, protože byla nalezena rovnice; viz Diracova kniha, „Principy kvantové mechaniky, 4. vydání,“, Oxford University Press, Oxford 1958, kapitola XI „Relativistická teorie elektronu“, část 69, „Pohyb volného elektronu“, strana 262 Bývalo to běžně vyučovaný fakt kvantové mechaniky, ale chápu, že hlasovalo dolů, nyní je možné získat doktorát z fyziky, aniž bych věděl o sebemenší věci z následujícího docela elementárního výpočtu. Částečně od té doby, kdy to už moc neučíme, se v literatuře v poslední době znovu objevuje derivace, viz například: Eur.Phys.J.C50: 673-678,2007 oscilace, pokud jde o zitterbewegungův efekt / hep-th / 0701091 , kolem rovnice (11).
Začneme tím, že rychlost je časová rychlost změny polohy a že můžete určit časovou rychlost změny polohy pomocí komutátoru:
$$ \ hat {v} _x = \ dot {x} = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] $$
Pokud se vám výše uvedené jeví jako kouzelné, přečtěte si záznam wikipedia na Ehrenfestova věta , která stanoví princip a dává stejnou situaci pro nerelativistické kvantové mechaniky: $$ \ frac {d} {dt} \ langle x \ rangle = – (i / \ hbar) \ langle [\ hat {x}, H] \ rangle = \ langle p_x \ rangle / m $$ a tak $ \; m v_x = m \ dot {x} = p_x $ (pro nerelativistický případ) . U nerelativistického elektronového modelu je tedy možné současně měřit rychlost a hybnost; jejich konstanta proporcionality je hmotnost. Ale u relativity se proporcionalita nestane takže situace je odlišná.
Aby stát byl vlastním stavem rychlosti, vyžaduje to:
$$ \ hat {v} _x \; \ psi (x) = – (i / \ hbar) [\ hat {x}, H] \; \ psi ( x) = \ lambda \ psi (x) $$
Dirac definoval Hamiltonian volných částic jako $ H = c \ vec {\ alpha} \ cdot \ vec {p} + \ beta mc ^ 2 $. V moderní notaci $ \ beta = \ gamma ^ 0 $ a $ \ alpha ^ k = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ k $, zatímco $ p $ je obvyklý hybný operátor.
Všimněte si, že jediná věc, která nedojde s $ \ hat {x} $, je složka x operátoru hybnosti, která dává $ [\ hat {x}, \ hat {p} _x] = i \ hbar $. výše redukuje na:
$$ – (i / \ hbar) [\ hat {x}, c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 [\ hat {x}, p_x] \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ – (ic / \ hbar) (i \ hbar) \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$ $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ psi (x) = \ lambda \ psi (x) $$
Použitím výběru reprezentace gama matice na wikipedii máme: $$ c \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = c \ left (\ begin {array} {cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0
-1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ – 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) = c \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {array} \ right) $$ Vlastní čísla jsou získáno řešením charakteristického polynomu . To znamená, že spočítejte determinant matice a nastavte jej na nulu: $$ \ left [\ begin {array} {cccc} – \ lambda & 0 & 0 & c \\ 0 & – \ lambda & c & 0 \\ 0 & c & – \ lambda & 0 \\ c & 0 & 0 & – \ lambda \ end {array} \ right] = \ lambda ^ 4-2 \ lambda ^ 2c ^ 2 + c ^ 4 = 0 $$ Nechávám to jako cvičení, aby čtenář ukázal, že existují dva skutečné kořeny, $ \ pm c $ každý s objednávkou dva.
Čtyři řešení problému rychlosti vlastních čísel pro Diracovu rovnici odpovídají pravému a levému elektronu a pozitronu. To znamená, že rychlostní vlastní stavy Diracovy rovnice jsou přesně levými a pravostrannými stavy používanými k reprezentaci fermionů ve standardním modelu .
Komentáře
- Existují dva samostatné problémy, které mohou způsobovat downvotes (zatím jsem ‚ nehlasoval, prosím opravte). Nejprve je Dirac Hamiltonian na zdiskreditovaném jednočásticovém obrázku Diracovy rovnice, kde x je operátor popisující polohu elektronu. Ve správném obrázku teorie pole mají blízké Fockovy stavy hybnost, která je ve vlnovém balíčku p a rychlost, která je p / E, a tyto dvě veličiny mohou mít současné hodnoty (jakési, protože částice jsou nelokální). Druhým problémem je, že rovnice, kterou zadáte pro vlastní čísla rychlosti, má čtyři řešení (c, -c, ic, -ic).
- Pokud jde o problém s polem Teorie versus QM, rychlostní vlastní stavy elektronu souvisí s zitterbewegung (zbw), který nedávno znovu ožil díky výzkumu fyziky pevných látek.Takže si ‚ nejsem jistý, zda je to ‚ zdiskreditováno, viz například diskuse o zbw a rychlostních vlastních státech v Eur. Phys. J. B 83, 301–317 (2011): arxiv.org/abs/1104.5632
- Dobře, já ‚ m oprava výpočtu vlastní hodnoty; Odhodil jsem determinant.
- Nemyslím si ‚ že je to ‚ zcela zdiskreditováno, potřebuje to jen diskusi — zbw je vlastnost pozitronových stavů mísících se se stavy elektronů na obrázku jedné částice, její elektron se v popisu Feynmana časově pohybuje sem a tam. Je to ‚ fyzické, ale pouze ve Feynmanově formě částicové dynamiky, ne tolik ve formě teorie pole. Jsem si jistý, že to je důvod, proč spousta lidí automaticky odmítá diskuse o jednotlivých částicích o Diracových eqn. ‚ si nemyslím, že je to nesmysl, obsahuje hodně fyziky, ale vyžaduje pečlivou diskusi.
Odpověď
Argument, že Heisenbergův princip nejistoty zakazuje, abychom mohli znát přesné hodnoty hybnosti a rychlosti částice současně, je již zdiskreditován ve staré učebnici Feynmana o kvantu Elektrodynamika.
Pokud operátoři dojíždí, lze současně určit dvě pozorovatelnosti. Pro rychlost a hybnost operátoři dojíždějí $ [\ hat {p}, \ hat {v}] = 0 $; dělají to i v teorie Diracových vln s jejími Zitterbewegungovými efekty.