Co je jednoduchý popis holé kosti směnné interakce mezi dvěma elektrony?
Například se mi zdá, že jediný nezbytnými ingrediencemi jsou Coulombova interakce a požadavek, aby celková vlnová funkce byla antisymetrická.
Komentáře
- Vaše intuice je správná. Matematický popis toho, jak se tyto dvě složky spiknou za účelem vytvoření výměnných interakcí, najdete v Ashcroft & Mermin (kapitola 32) [toto je docela standardní výpočet a já ' Určitě se objevuje i na mnoha dalších místech.
- Je to také v úvodní kvantové učebnici Griffiths. Někde.
- Nemá to nic společného s Coulombovou silou, došlo by také k výměnné interakci mezi dvěma nenabitými, ale nerozeznatelnými bosony.
Odpověď
Výměnná interakce je přídavkem k dalším interakcím mezi identickými částicemi způsobenými permutační symetrií.
Toto přidání je výsledkem specifické formy více částic vlnová funkce. Na rozdíl od „obvyklých“ interakcí nepřispívá k hamiltoniánům, ale objevuje se jako další výraz v rovnicích pro jednotlivé -funkce částicových vln (např. Hartree-Fockova rovnice).
Interakce obvykle spojená s energií a silami. Korekci směny bychom mohli najít jako sílu přidanou k Coulombovým silám, ale měli bychom nejprve pochopit, co je síla v kvantové soustavě.
Pojďme uvažovat o dvou fermionech s jednodílnými souřadnými vlnovými funkcemi $ \ psi_a ( x) $ a $ \ psi_b (x) $ a fukce spinových vln $ \ phi_a (s) $ a $ \ phi_b (s) $. Možné fukce dvoučásticových vln jsou singlet se symetrickou souřadnicovou částí $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ a triplet s antisymetrickou souřadnicí část $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$
Nechte dvoučásticový Hamiltonian nezáviset na roztočení: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$, pak průměrná energie interakce bude: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ doprava | V \ vlevo | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ doprava > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ vpravo | V \ vlevo | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ vpravo > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$
Termín $ U_ \ text {ex} $ není nula, pouze pokud jsou částice dostatečně blízko u sebe a jejich vlnové funkce se překrývají (viz obrázek níže). V klasickém limitu, když je vzdálenost $ L $ velká, je překrytí nulové a $ U_S = U_A = U $
Předpokládejme, že $ \ psi_a $ a $ \ psi_b $ jsou nezáporné všude a anv $ V $ působí jako Coulombova interakce (tj. pozitivní a klesá, když se vzdálenost zvětší). ex} $ jsou kladné a energie symetrického stavu souřadnic (protilehlé trny) je vyšší než energie stavu antisymetrického souřadnic (podobné trny). Pokud jsou průměrné polohy částic pevné, směnná interakce dá rotace stejným směrem.
Sílu interakce mezi částicemi lze definovat jako generalizovanou sílu odpovídající parametru L: $$ F = – \ frac {\ částečné U} {\ částečné L} $$ V rámci našich předpokladů týkajících se $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ a $ V $ jsou deriváty $ U $ i $ U_ \ text {ex} $ záporné. Proto je „obvyklá“ síla kladná (odpor) a směnná síla je kladná pro symetrické souřadnice tate a negative pro antisymetrický stav souřadnic (přitažlivost).
Výměnná interakce pro případ dvou částice lze považovat za dodatečnou sílu v závislosti na konfiguraci rotace. Pro více částic je to komplikovanější.
Komentáře
- Ahoj, jak pochopit efektivní sílu výměnné interakce pro Fermion je atraktivní? Velmi neintuitivní.