Četl jsem na internetu a zjistil jsem, že gravitační konstanta je zhruba 6 674 $ \ krát 10 ^ {- 11} ~ \ mathrm {m ^ 3 ~ kg ^ {- 1} ~ s ^ {- 2}}. $ Také jsem zjistil, že se rovná 6 674 $ \ krát 10 ^ {- 11} ~ \ mathrm {N \ cdot m ^ 2 / kg ^ 2}. $
První otázka: co znamená první měrná jednotka ? 6 674 $ \ krát 10 ^ {- 11} $ metrů krychlových přes kilogram za sekundu na druhou? Týká se to zrychlení na kilogram v metrech (změna rychlosti) za sekundu na druhou? Pokud ano, proč metry krychlové?
Druhá otázka: druhý výraz. Vím, že newton krát metr je v podstatě newton namáhaný na jeden metr, ale co znamená newton krát metr na druhou? Znamená to, že newton přitažlivosti se vynásobí druhou mocninou? Na co se vztahuje metr na druhou – vzdálenost mezi objekty? Proč je přitažlivost v newtonských časech na druhou na kilogram na druhou? Může někdo vysvětlit rovnici a proč je takto vyjádřena?
Také: pokud se jedná pouze o konstantu, proč se měří takto? Nešlo by také přímé zrychlení přes kilogram (hmotnost)?
Komentáře
- Související: Co přesně je kilogram metr?
Odpověď
No, cesta k nalezení jednotek konstanty je třeba vzít v úvahu rovnici, které se účastní:
$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$
$ F $ je síla: takže se měří v newtonech ($ \ operatorname {N} $). Newton je síla potřebná k tomu, aby kilogram dal zrychlení metr za sekundu za sekundu: v jednotkách SI jsou tedy jeho jednotkami $ \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 $. $ m_1 $ a $ m_2 $ jsou hmotnosti: v jednotkách SI se měří v kilogramech, $ \ operatorname {kg} $ a $ r $ je délka: měří se v metrech, $ \ operatorname {m} $.
Takže opět v jednotkách SI můžeme přepsat výše uvedené jako něco jako
$$ \ phi \ operatorname {N} = \ phi \ operatorname {kg} \ operatorname {m} / \ operatorname {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatorname {kg} ^ 2} {\ operatorname {m} ^ 2} $$
kde $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ a $ \ rho $ jsou čistá čísla (jsou to číselné hodnoty různých veličin v jednotkách SI). Musíme tedy získat rozměry tohoto aby to dávalo smysl, a když to uděláte, je okamžitě zřejmé, že
$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {m} ^ 3} {\ operatorname {kg} \ operatorname {s} ^ 2} $$
kde $ \ gamma $ je čisté číslo a je číselnou hodnotou $ G $ v jednotkách SI.
Alternativně, pokud vložíme newtony zpět na LHS dostaneme
$$ G = \ gamma \ frac {\ operatorname {N} \ operatorname {m} ^ 2} {\ operatorname {kg ^ 2}} $$
Odpověď
První sada jednotek je ve skutečnosti stejná jako druhá. Pokud nahradíte Newton ve druhém výrazu jeho definicí, pokud jde o kilogramy, metry a sekundy
$$ 1 N = 1 \ frac {\ mathrm {kg ~ m}} {\ mathrm {s ^ 2}} $$
obnovíte první výraz.
Systém SI má řadu základních jednotek ( metr, kilogram , druhý, ampér, kelvin, krtek a kandela ). Všechny ostatní jednotky jsou definovány na základě těchto sedmi a ve skutečnosti nejsou ničím jiným než pohodlnými zkratkami v zápisu.
Význam druhého výrazu, který si představuji, je ten, který znáte více, je ten je to číslo, které byste měli vynásobit hmotami dvou objektů (tedy $ \ mathrm {kg ^ {- 2}} $) a vydělit druhou mocninou vzdálenosti mezi nimi (tedy $ \ mathrm {m ^ 2 } $), abyste obnovili gravitační sílu, kterou objekty na sebe vyvíjejí.
Význam prvního výrazu je přesně stejný , protože je stejný výraz. Právě to bylo zakryto méně známým zápisem, který nahradil snadno rozpoznatelný Newton jeho jednotkovými jednotkami. Pokus o přímou intuici jeho významu z pohledu na jednotky není nemožný, ale zbytečně matoucí. Jakmile zkontrolujete, zda jsou oba výrazy ve skutečnosti identické, doporučil bych vám, abyste se příliš netrápili nad „významem“ jednotek v prvním výrazu.
Pokud jde o vaši poslední otázku, ne „t. Je to proto, že rovnice gravitační síly musí vyvést sílu a brát v úvahu hmotnosti obou objektů, stejně jako druhou mocninu vzdálenosti mezi nimi. Gravitační konstanta tedy musí mít jednotky, které se shodují.
Doufám, že to pomůže.
Odpověď
Chcete-li na to odpovědět, musíme se podívat na rovnici $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Pokud se tedy G měří v $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, a hmotnost se měří v kg a vzdálenost se měří v m, pak síla se měří s $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, což zjednodušuje na $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $
A teď k definování $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ mohou vaše instinkty rozdělit na $ \ rm m / s ^ 2 $ a kg. Pokud $ \ rm m / s ^ 2 $ je jednotka zrychlení a kg je jednotka hmotnosti, pak síla musí být hmotnost krát zrychlení. To popisuje Sir Issac Newton PRS „popisuje druhý zákon pohybu:
$ F = ma $
Má tedy smysl, že gravitační konstanta G se měří v $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.
Komentáře
- Nejste si jisti, že " PRS " je potřeba k popisu Newtona
odpovědi
Je to problém.
Konstanty se zmiňují o čistých číslech, takže je sranda, že konstanta by měla mít jednotky měření.
Je to vhodný problém. Zjistíte, nebo hádáte, že něco závisí na něčem jiném, proporcionálně, jako když x jde ze 3 na 4, y jde ze 6 na 8, (takže y = 2 * x, kde 2 je konstanta) nebo nepřímo úměrné (y = x / 2), takže když jste spokojeni, že jste našli vše, co může ovlivnit to, co máte, máte svou rovnici, jako y = a x ^ 2 + bx + c jednoduchý kvadratický v jedné dimenzi nebo něco jako w = x y.
Posledním krokem je přidání konstant tak, aby se čísla a výsledky shodovaly.
Pokud se však vaše jednotky měrných principů jednotky neshodují, máte problém. Obětujete se za to, pokud vaše konstanta platí, i když má jednotky, ale možná si uvědomte, že rovnice má více než toto zjednodušení, nebo samozřejmě, že vaše původní představa o jednotkách měření má chybu. předefinujte své první principy, tj. rychlost není metr / sekundy, takže to prozatím vynechejte.
Gravitační rovnice v této podobě je také velmi podobná Coulombsovu zákonu, ve skutečnosti příliš podobná, obě jsou většinou vodítky říci, že síla je úměrná hmotám objektů a nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti (v gravitačním případě)
Dostanete čisté čtverce s gravitační silou, tj. (kg / m) 2, takže pokud je celá věc na druhou, pak by vás mohlo zajímat, co je kg / m.
Například: Čtverce se objeví, když jste navíc Díky integraci integruje další skvělý matematický koncept, který je však alespoň graficky aproximací.
Takže říkáme, že pokud y = x ^ 2, pak dy / dx = 2x a integrace je opakem diferenciace , pomocí zápisu „Integral of x“ jako I (x), pak I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (pro chybějící část vždy přidáme integrační konstantu.
Takže možná (gravitační) síla je f = I (něco), takže skončí na druhou.
Síla je legrační zvíře. Máte věci jako impulsy, jako máte věci jako energie, práce a energie, všechny pojmy ve fyzice, propojené. Například iirc work = power * time, ale to je jen zdravý rozum, takže se zde zastavím.
Přidáno:
Chcete-li začít přemýšlet o kg / m a o tom, co to je, jedna věc, která se objevila na mysli, jsou tyto dvě věci spojeny, když něco urazí vzdálenost, jak závisí vzdálenost na mši? No, jistě, když máte tření, na hmotnosti záleží. Můžete také přemýšlet o hustotě, což je hmotnost / objem.
Takže F ~ objem ^ 2 a možná F = objem něco, což ho přivede zpět na kg m / s ^ 2. něco, co je ve vnímatelné lokální stabilní, konstantní. Nezapomeňte, že pokud F = I (x) a má v sobě m / s ^ 2, existuje integrální vztah mezi rychlostí a zrychlením (s = v t + a t / 2), kde s je vzdálenost, v je rychlost, a je zrychlení at čas. Mějte na paměti, že integrace je také subjektivní, integrujete se přes něco, takže pokud w = x y a obě x a y jsou proměnné, můžete integrovat w přes x a můžete integrovat w přes y. Jedná se o / (mohou být) přísady za předpokladu, že jsou nezávislé coz, pokud y = f (x) můžete přejít na jednu proměnnou w = x f (x) => w = g (x)
Odpověď
Protože tato otázka měla 46 tis. (!) zhlédnutí, může být užitečné přidat odpověď i po 4 letech.
$ G $ je experimentální konstanta nutná k porovnání Newtonovy potenciální energie k experimentování. Newtonova potenciální energie je $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ vydělením energií $ mc ^ 2 $ získáte bezrozměrný potenciál $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Protože $ V $ je bezrozměrný $ GM / c ^ 2 $ je délka. Tato délka je interpretována jako polovina poloměru černé díry s hmotou M, $ r_M / 2 $ . G má rozměr $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .Můžete tedy také napsat bezrozměrný potenciál jako $$ V = r_M / 2r $$ , kde jedinou konstantou je délka s jasnou, i když exotickou interpretací.
Odpověď
Nejpřímější interpretace – ta, která přesahuje paradigmatickou propast mezi relativistickou a nerelativistickou fyzikou a souvisí s Raychaudhuriho rovnicí, je to z hlediska objemové kontrakce.
Mrak obklopující těleso hmoty $ M $ , jehož složky jsou všechny v radiálním pohybu, má svazek, který jako funkce času $ V (t) $ splňuje rovnici $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Je-li zpočátku stacionární, pak počáteční zrychlení hlasitosti pod gravitační síla, je $ – 4πGM $ , záporné znaménko, které naznačuje, že se začíná smršťovat.
Takže jednotky pro $ GM $ jsou metry krychlové za sekundu za sekundu.
Zobecnění na $ n + 1 $ dimenzionální časoprostor je $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ pomocí konvence $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , kde $ G_n $ je $ n $ – rozměrová verze Newtonova koeficientu; jehož jednotky by byly metrⁿ / (druhý2 kilogram).