Toto je nízká přesnost – přesto jednoduchá – odpověď

Umožňuje vypočítat pouze radiální konfiguraci zarovnání planet.

Pokud byste chtěli přiblížení, řekněme, přibližujete polohu planet. jako hodiny v ruce byste mohli vypočítat matematiku něčím podobným.

Předpokládejme, že $ \ theta_i $ je počáteční úhel pro planetu $ i $ v čase $ t_0 $ – měřeno z libovolného, ale opraveného pozice a $ l_i $ je délka roku – ve dnech – pro planetu $ i $.

Poté se obnoví řešení tohoto systému rovnic:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Odtud pak jednoduše použijete Chinese Remainder Theorem .

Nalezení minima x vám dá úhel, který by planeta, která měla $ t_0 $ úhel $ \ theta_i = 0 $, cestovala, dokud nebylo dosaženo zarovnání konfigurace. A sečteme-li, že zvolíte Zemi jako zmíněnou planetu, poté tento úhel vydělíte úplnou revolucí ($ 360 ^ {o} $) a získáte počet let pro dosažení této konfigurace – z konfigurace $ t_0 $.

Různé $ \ theta_i $ ve stupních pro všechny planety 1. ledna 2014 – můžete je použít jako svůj $ t_0 $:

\ begin {align} Merkur & \ quad 285.55 \\ Venuše & \ quad 94.13 \\ Země & \ quad 100,46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11,93 \\ Neptun & \ quad 334,90 \ end {align}

Zdroj

Různé $ l_i $ ve dnech pro všechny planety:

\ begin {align} Merkur & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uran & \ quad 30685.4 \\ Neptun & \ quad 60189 \ end {align}

Nakonec pod aproximací celočíselných hodnot a pomocí tohoto online řešitel systému rovnic, odpověď je $ x = 4,0384877779832565 \ krát 10 ^ {26} $, které děleno $ 360 ^ {o} $ vám dá zhruba $$ 1,1218 \ krát 10 ^ {24} \ quad \ text { years} $$

Upravit 1

Právě jsem našel tento web , se kterým byste si mohli hrát. Je to interaktivní flash aplikace s přesnou polohou planet.

Také vím, že všechny informace lze získat z této stránky NASA a to je stejně přesné, jaké můžete získat, ale nyní je to pro mě prostě nepochopitelné. Pokusím se to později zrevidovat, až si najdu čas.

Také tato kniha od Jeana Meeuse s názvem Astronomické algoritmy zahrnuje všechny základní euqace a vzorce – nemá to nic společného s programovacími algoritmy.

Upravit 2

Vidět že jste programátor, mohlo by se vám vyplatit podívat se na stránky NASA, které jsem zmínil výše, k datům všech planet lze dokonce přistupovat prostřednictvím $ \ tt {telnet} $.Nebo tento web Sourceforge , kde mají implementace pro mnoho rovnic popsaných ve výše zmíněné knize.

Komentáře

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ funguje v komentářích stejně. Myslím, že váš přístup je nejlepší, jaký můžete udělat bez nadměrných simulací. Vše, co musíte udělat, je vložit aktuální data; to byla ta část, kvůli které jsem váhal s poskytnutím odpovědi.
• @Gerald oh Myslel jsem si, že značení rovnic nefunguje ‚ v komentářích. Ano, ‚ mi chybí data, zejména $ \ theta_i $. Přidám různé informace $ l_i $.
• Jak mohl tento solární systém ukázat přesné vzájemné polohy planet, když jejich vzdálenosti od Slunce nejsou správné? Mohlo by to ukazovat polohu každé planety relativně ke Slunci správně izolovaně, a tak by to bylo dobré pro tuto otázku, ale ne pro hledání spojek.
• @LocalFluff To je pravda. To poskytuje pouze odpověď na konfigurace radiálního zarovnání. Upraveno.
• V této odpovědi je několik omylů. Nejprve pomocí všech číslic v tabulkách (což znamená převod na centidgree a centidays) ve skutečnosti dostanu $ x \ cca1,698 \ times10 ^ {42} $ (ze stejného online nástroje), což je 1,29 $ \ times10 ^ {33 } $ rok Nevím ‚ jak jste získali nižší hodnotu, ale silně se domnívám, že jste některé číslice vynechali. Za druhé to ukazuje, že při přidávání dalších číslic má řešení tendenci k nekonečnu: správná odpověď je: radiální zarovnání nikdy nedojde . A konečně, předpokládat, že planety ‚ obíhají tento jednoduchý pohyb, je prostě chybné .

Správná odpověď je „ never „, pro několik důvodů. Nejprve , jak je uvedeno ve Florinově komentáři, oběžné dráhy planety nejsou rovinné, a proto je nelze srovnat , i když by každá planeta mohla být umístěna libovolně ve své orbitální rovině. Druhý , dokonce ani čisté radiální zarovnání se nikdy nestane, protože období planety jsou nekombinovatelná – jejich poměry nejsou racionální čísla. Nakonec se oběžné dráhy planet vyvíjejí v časových měřítcích milionů let, hlavně díky jejich vzájemné gravitační táhnout. Tento vývoj je (slabě) chaotický, a proto nepředvídatelný po velmi dlouhou dobu.

nesprávná odpověď harogastona se v podstatě přibližuje orbitálním obdobím nejbližší srovnatelná čísla, čímž se získá velmi dlouhá doba (i když to pokazil faktorem pouhých $ 10 ^ {16} $).

Mnohem zajímavější otázka (a možná ta, která vás vlastně zajímala) ) je, jak často se 8 planet téměř vyrovná radiálně . Tady „ téměř “ může jednoduše znamenat „ do 10 $ ^ \ circ $ při pohledu ze Slunce “. Při takové příležitosti se vzájemné gravitační působení planet vyrovná, a proto povede k silnějším orbitálním změnám, než je průměr.

Jakýkoli odhad společného období více než dvou planet (tj. po jakém čase se znovu přibližně vyrovnají v heliocentrické zeměpisné délce?) velmi silně závisí na tom, jak velká odchylka od dokonalého vyrovnání je přijatelná.

Pokud je období planety $ i $ $ P_i $ a pokud je přijatelná odchylka v čase $ b $ (ve stejných jednotkách jako $ P_i $), pak kombinované období $ P $ z všech $ n $ planet je přibližně $$ P \ přibližně \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, takže snížení přijatelné odchylky o faktor 10 znamená zvýšení běžné doby o faktor 10 $ ^ {n-1} $, což pro 8 planet je faktor 10 000 000. Je tedy nesmyslné citovat běžné období, pokud neurčíte také, jak velká odchylka byla přijatelná. Když přijatelná odchylka klesne na 0 (k dosažení „dokonalého zarovnání“), pak se běžné období zvýší na nekonečno. To odpovídá prohlášení několika komentátorů, že neexistuje žádné běžné období, protože období nejsou přiměřená.

U období planet uvedených harogastonem, $ \ prod_i P_i \ přibližně 1,35 \ krát10 ^ 6 $, když $ P_i $ jsou měřeny v juliánských letech po 365,25 dnů, takže běžné období v letech je přibližně $$ P \ přibližně \ frac {1,35 \ krát10 ^ 6} {b ^ 7} $$, pokud se také $ b $ měří v letech. Pokud jsou období přibližná k nejbližšímu dni, pak $ b \ přibližně 0,00274 $ let a $ P \ přibližně 1,2 \ krát10 ^ {24} $ let. Pokud jsou období přibližná k nejbližšímu 0,01 dne, pak $ b \ přibližně 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ a $ P \ přibližně 1,2 \ times10 ^ {38} $ roky.

Odvození výše uvedeného vzorce je následující:

Přibližte periody planet násobkem základní jednotky $ b $: $ P_i \ přibližně p_i b $ kde $ p_i $ je celé číslo. Pak se běžné období rovná nanejvýš součinu všech $ p_i $. Tento produkt se stále měří v jednotkách $ b $; musíme se vynásobit $ b $, abychom se vrátili k původním jednotkám. Takže , běžné období je přibližně $$ P \ přibližně b \ prod_i p_i \ přibližně b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Výše uvedené odvození nebere v úvahu, že $ p_i $ může mít společné faktory, takže k vyrovnání dojde dříve, než navrhne $ \ prod_i p_i $. To, zda nějaké dva $ p_i $ mají společné faktory či nikoli, však silně závisí na zvoleném základním období $ b $, takže je ve skutečnosti náhodnou proměnnou a neovlivňuje globální závislost $ P $ na $ b $.

Pokud vyjádříte přijatelnou odchylku spíše z úhlu než času , pak očekávám, že dostanete odpovědi, které závisí na velikosti přijatelné odchylky jako stejně jako výše uvedený vzorec.

Graf $ P $ viz http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html jako funkce $ b $ pro všechny planety včetně Pluta.

EDIT:

Zde je odhad s přijatelnou odchylkou, pokud jde o úhel . Chceme, aby všechny planety byly v rozsahu zeměpisné délky a šířky $ δ $ se středem na zeměpisné délce první planety; zeměpisná délka první planeta je volná. Předpokládáme, že všechny planety se pohybují stejným směrem na koplanárních kruhových drahách kolem Slunce.

Protože planety “ období nejsou přiměřená, všechny kombinace zeměpisných délek planet se vyskytují se stejnou pravděpodobností. Pravděpodobnost $ q_i $, že v určitém konkrétním časovém okamžiku je zeměpisná délka planety $ i > 1 $ v segmentu šířky $ δ $ se středem na zeměpisné délce planety 1, je stejná až $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Pravděpodobnost $ q $, že planety 2 až $ n $ jsou všechny ve stejném segmentu zeměpisné délky se středem na planetě 1, je pak $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

Přeložit tuto pravděpodobnost na průměrné období, musíme odhadnout, kolik času jsou všechny planety zarovnány (do $ δ $) pokaždé, když jsou všechny zarovnány.

První dvě planety, které ztratí vzájemné zarovnání, jsou nejrychlejší a nejpomalejší planet. Pokud je jejich synodická perioda $ P _ * $, pak budou v zarovnání po interval $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ a poté po nějakou dobu mimo zarovnání, než se znovu dostanou do zarovnání . Takže každé zarovnání všech planet trvá přibližně interval $ A $ a všechna tato zarovnání dohromady pokrývají zlomek $ q $ všech dob. Pokud je průměrná doba, po které dojde k dalšímu vyrovnání všech planet, $ P $, pak musíme mít $ qP = A $, takže $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Pokud existují pouze dvě planety, pak $ P = P _ * $ bez ohledu na $ δ $, což je podle očekávání.

Pokud existuje mnoho planet, pak nejrychlejší planeta je hodně rychlejší než nejpomalejší, takže $ P _ * $ se téměř rovná orbitální době nejrychlejší planety.

I zde je odhad průměrného času mezi po sobě jdoucími zarovnáními velmi citlivý na zvolený mez odchylky (pokud jsou zapojeny více než dvě planety), takže nemá smysl citovat takové kombinované období pokud nezmiňujete ani to, jaká odchylka byla povolena.

Je také důležité si uvědomit, že (pokud existují více než dvě planety) k těmto (téměř) zarovnáním všech nedochází pravidelně intervaly.

Nyní připojme několik čísel. Pokud chcete, aby bylo všech 8 planet zarovnáno do 1 stupně zeměpisné délky, pak je průměrná doba mezi dvěma takovými zarovnáními zhruba rovna orbitům nejrychlejší planety $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $. Ve sluneční soustavě je Merkur nejrychlejší planetou s dobou přibližně 0,241 roku, takže průměrná doba mezi dvěma souřadnicemi všech 8 planet do 1 stupně zeměpisné délky je přibližně 5 × 10 ^ {14} $ let.

Pokud jste již spokojeni se zarovnáním do 10 stupňů zeměpisné délky, pak se průměrná doba mezi dvěma takovými zarovnáními rovná zhruba orbitům Merkuru $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $, což je asi 500 milionů let.

Jaké je nejlepší sladění, které můžeme očekávat během následujících 1000 let? 1000 let je asi 4150 oběžných drah Merkuru, takže $ (360 ° / δ) ^ 6 \ přibližně 4150 $, takže $ δ \ přibližně 90 ° $. V náhodně vybraném intervalu 1000 let je v průměru jedno zarovnání všech 8 planet k segmentu 90 °.

Existuje mnohem jednodušší způsob, jak to udělat.

1) Vyhledejte délku slunečního roku ve dnech Země

2) vynásobte délku let takto: Merkurský rok * Venušin rok * Země * Marťanský rok * Joviánský rok * Saturnský rok * Uranový rok * Neptunův rok

3) Vydělte 365, abyste získali pozemské roky.

A máte čas, kdy se budou znovu podélně zarovnávat (to znamená úhly se budou lišit, ale z pohledu shora budou tvořit čáru). Nevyhovovalo to na žádné vyšší frekvenci, protože některé z těchto planet mají ve svém roce desetinný počet pozemských dnů.

Komentáře

• 4) Uvědomte si, že číslo, které jste dostali, je mnohem větší než Lyapunov čas sluneční soustavy, a proto nemá smysl.

Pravým způsobem, jak najít období mezi zarovnáním všech 8 planet, je najít LCM všech 8 jejich ročních délek.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Chápu, že se jedná o hrubý odhad, protože jsou zaokrouhleny na nejbližší celé číslo, ale dává dobrý nápad z počtu dní, které by to trvalo.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. To je kolik let.

Komentáře

• Zdá se, že jde o stejnou metodu, jak je popsána v Caters ‚ s answe r .