Laické ' vysvětlení a porozumění Einstein ' s polních rovnic

Einsteinovy rovnice lze volně shrnout jako hlavní vztah mezi hmotou a geometrií časoprostoru . Pokusím se poskytnout kvalitativní popis, co znamená každý výraz v rovnici. Budu však muset varovat potenciální čtenáře, že to nebude krátká odpověď. Dále budu zdržet se pokusu o odvození rovnic “ elementárním “ způsobem, protože rozhodně o žádném nevím.

Hmota

Na pravé straně rovnice nejdůležitější věcí je vzhled tenzoru energie-hybnosti $ T _ {\ mu \ nu} $ . Kóduje přesně to, jak je hmota – chápána v širším smyslu, tj. Jakákoli energie (nebo hmota, hybnost nebo tlak) nesoucí médium – distribuována ve vesmíru. Informace o tom, jak interpretovat indexy indexu $ T $ , naleznete níže v mém vysvětlení metrického tenzoru.

Je vynásoben některými základními přírodní konstanty $ \ Big ($ faktor $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ , ale to nemá žádný zásadní význam: Lze je považovat za nástroje pro vedení účetnictví, které sledují jednotky veličin, které jsou vztaženy rovnicí. Ve skutečnosti si profesionální fyzici obvykle dovolují předefinovat naše jednotky měření za účelem zjednodušení vzhledu našich výrazů tím, že se zbavíme otravných konstant, jako je tato. Jednou z konkrétních možností by bylo zvolit “ zmenšené Planckovy jednotky „, ve kterém $ 8 \ pi G = 1 $ a $ c = 1 $ , takže faktor se stane $ 1 $ .

Diferenciální g eometry

Na levé straně Einsteinových rovnic najdeme několik různých termínů, které společně popisují geometrii časoprostoru. Obecná relativita je teorie, která využívá matematický rámec známý jako (polo) riemannovská geometrie . V tomto oboru matematiky se studují prostory, které jsou v určitém smyslu hladké a které jsou vybaveny metrikou . Nejprve se pokusme pochopit, co tyto dvě věci znamenají.

Vlastnost hladkosti lze ilustrovat na intuitivním (a historicky důležitém!) Příkladu hladkého (dvourozměrného) povrchu v běžném trojrozměrném prostoru . Představte si například povrch idealizovaného fotbalu, tj. 2 koule. Nyní, pokud člověk soustředí pozornost na velmi malou skvrnu povrchu (držte míč až do své vlastní tváře), vypadá to, že míč je docela plochý. Zjevně to však není globálně ploché. Bez ohledu na matematickou přesnost můžeme říci, že prostory, které mají tuto vlastnost vypadat místně ploché, jsou v určitém smyslu hladké . Matematicky je lze nazvat rozmanitými. Nejjednodušším příkladem takového prostoru je samozřejmě globálně plochý povrch, například nekonečný list papíru.

V Riemannově geometrii (a diferenciální geometrii obecněji) člověk studuje takové hladké prostory (variet) libovolné dimenze. Jedna důležitá věc, kterou si musíte uvědomit, je, že je lze studovat aniž byste si představovali, že jsou vloženi do prostoru vyšší dimenze, tj. Bez vizualizace, kterou jsme byli schopni použít s fotbalem, nebo jakéhokoli jiného odkazu na to, co může, ale nemusí být “ mimo “ samotný prostor.Jeden říká, že je lze studovat a jejich geometrii vnitřně .

Metrika

Pokud jde o vnitřní studium geometrie potrubí, hlavní předmětem studia je metrika (tenzor). Fyzici to obvykle označují $ g _ {\ mu \ nu} $ . V určitém smyslu nám poskytuje představu o vzdálenosti na potrubí. Zvažte dvourozměrné potrubí s metrikou a umístěte na něj “ souřadnicovou mřížku „, tj. Přiřaďte každému bodu sadu dvou numbers, $ (x, y) $ . Poté lze metriku zobrazit jako matici $ 2 \ times 2 $ s $ 2 ^ 2 = 4 $ záznamů. Tyto položky jsou označeny dolními skripty $ \ mu, \ nu $ , které lze vybrat jako rovno $ x $ nebo $ y $ . Metriku lze potom chápat jako jednoduše řadu čísel:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Měli bychom také řekněme, že metrika je definována tak, že $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , tj. je symetrická vzhledem k jejím indexům. To znamená, že v našem příkladu $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Nyní zvažte dva blízké body, takže rozdíl v souřadnicích mezi nimi je $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Můžeme to ve zkratkové notaci označit jako $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ , kde $ \ mu $ je buď $ x $ nebo $ y \;, $ a $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ a $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Potom definujeme druhou mocninu vzdálenosti mezi dvěma body, která se nazývá $ \ mathrm {d} s \;, $ as

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

Chcete-li získat představu o tom, jak to funguje v praxi, podívejme se na nekonečný rozměrný plochý prostor (tj výše uvedený list papíru) se dvěma “ standardními “ rovinnými souřadnicemi $ x, y $ na něm definované čtvercovou mřížkou. Potom všichni víme z Pythagorovy „věty, že

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

To ukazuje, že v tomto případě je přirozená metrika plochého dvojrozměrného prostoru dána

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Nyní, když jsme věděli, jak “ měřit “ vzdálenosti mezi blízkými body , můžeme použít typickou techniku ze základní fyziky a integrovat malé segmenty k získání vzdálenosti mezi body, které jsou dále odstraněny:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralizace do vyšších dimenzí je přímočará.

Tenzory zakřivení

Jak jsem se pokusil argumentovat výše, metrický tenzor definuje geometrii našeho potrubí (ve fyzickém případě časoprostoru) . Zejména bychom měli být schopni z něj vytáhnout všechny relevantní informace o zakřivení potrubí. To se provádí konstrukcí Riemannova (zakřivení) tenzoru $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , což je velmi komplikovaný objekt, který lze, analogicky s vizualizací metriky pole, považovat za čtyřrozměrné pole, přičemž každý index je schopen převzít $ N $ hodnoty, pokud existují $ N $ souřadnice $ \ { x ^ 1, \ dots x ^ N \} $ na potrubí (tj. pokud se jedná o $ N $ -dimenzionální prostor). Je definován čistě z hlediska metriky složitým způsobem, který prozatím není příliš důležitý.Tento tenzor obsahuje téměř všechny informace o zakřivení potrubí — a mnohem víc, než nás fyziky obvykle zajímá. Někdy je však užitečné se dobře podívat na Riemannův tenzor, pokud člověk opravdu chce vědět, o co jde.Například všude mizející Riemannův tenzor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) zaručuje že časoprostor je plochý. Jeden slavný případ, kdy je taková věc užitečná, je v Schwarzschildově metrice popisující černou díru, která se zdá být singulární v poloměru Schwarzschildova okruhu $ r = r_s \ neq 0 $ . Po kontrole Riemannova tenzoru se ukáže, že zakřivení je zde vlastně konečné, takže se jedná spíše o souřadnici singularitu než “ skutečnou “ gravitační singularita.

Převzetím určitých “ částí “ Riemannův tenzor, můžeme zahodit některé informace, které obsahuje, na oplátku za to, že budeme muset jednat pouze s jednodušším objektem, Ricciho tenzorem:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Toto je jeden z tenzorů, které se objevují v rovnicích Einsteinova pole. druhý člen rovnic obsahuje Ricci skalární $ R $ , který je definován opět kontrakcí ( fantazijní slovo pro “ sčítání všech možných indexových hodnot některých indexů „) Ricciho tenzoru, tentokrát s inverzí metrika $ g ^ {\ mu \ nu} $ , kterou lze sestavit z obvyklé metriky pomocí rovnice

$$ \ sum _ {\ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ text {if} \ mu = \ rho \ \ text {a} 0 \ \ text {jinak} $$

Jak jsme slíbili, Ricciho skalár je kontrakce Ricciho tenzoru a inverze metrika:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Skalár Ricci samozřejmě opět obsahuje méně informací než Ricciho tenzor, ale jeho zpracování je ještě snazší . Jednoduše jej vynásobte $ g _ {\ mu \ nu} $ opět vede k dvourozměrnému poli, stejně jako $ R _ {\ mu \ nu} $ a $ T _ {\ mu \ nu} $ jsou. Zvláštní kombinace tenzorů zakřivení, která se objevuje v rovnicích Einsteinova pole, je známá jako Einsteinův tenzor

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Kosmologická konstanta

Existuje jeden termín, který jsme zatím vynechali: Kosmologický konstantní termín $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Jak název napovídá, $ \ Lambda $ je konstanta, která metriku znásobuje. Tento výraz je někdy kladen na druhou stranu rovnice, protože $ \ Lambda $ lze považovat za jakýsi druh “ energetický obsah “ vesmíru, který může být vhodněji seskupen se zbytkem hmoty, který je kodifikován $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Kosmologická konstanta je hlavně zajímavá, protože poskytuje možné vysvětlení pro (ne) slavnou temnou energii , která podle všeho odpovídá důležitá kosmologická pozorování. To, zda je kosmologická konstanta v našem vesmíru skutečně nenulová, je otevřený problém, stejně jako vysvětlení hodnotových pozorování, která pro ni naznačují (tzv. problém kosmologické konstanty aka “ nejhorší předpověď teoretické fyziky, která kdy byla „, jeden z mých osobních zájmů).

---

PS. Jak bylo uvedeno v komentářích, pokud se vám to líbilo, můžete si také přečíst tuto otázku a odpovědi na ni, které se týkají té jiné důležitá rovnice obecné relativity, která popisuje pohyb “ testovacích částic “ v zakřivených časoprostorech.

Einsteinova rovnice spojuje obsah hmoty (pravá strana rovnice) s geometrií (levá strana) Lze to shrnout slovy „hmota vytváří geometrii a geometrie funguje jako hmota“.

Podrobněji se pojďme podívat, co je tenzor. Tenzor se dvěma indexy (což máme v Einsteinově rovnici) lze považovat za mapu, která bere jeden vektor do jiného vektoru. Například tenzor energie napětí získá vektor polohy a vrátí vektor hybnosti. (matematicky $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $ a já všude míchám vektory a ko-vektory, abych zjednodušil diskusi). Interpretace spočívá v tom, že pravá strana Einsteinovy rovnice nám říká hybnost, která prochází povrchem definovaným polohovým vektorem.

Levou stranu lze interpretovat také tímto způsobem. Ricciho zakřivení $ R _ {\ mu \ nu} $ vezme poziční vektor a vrátí vektor, který nám říká, jak moc se zakřivení mění skrz povrch definovaný $ \ vec {x} $. Druhý a třetí výraz, oba s faktory metriky $ g _ {\ mu \ nu} $, nám říkají, jak moc se změří měření vzdálenosti při cestování po vektoru. K této změně vzdálenosti existují dva příspěvky – skalární zakřivení $ R $ a $ \ Lambda $. Pokud je $ R _ {\ mu \ nu} $ „zakřivení v jednom směru“, pak $ R $ je „celkové zakřivení“. $ \ Lambda $ je konstanta, která nám říká, kolik vrozené energie má prázdné místo, čímž se zvětšují všechny vzdálenosti za $ \ Lambda > 0 $.

Takže , čteme rovnici zprava doleva, „Einsteinova rovnice nám říká, že hybnost (pohybující se hmota) způsobuje zakřivení i změnu způsobu měření vzdáleností.“ Při čtení zleva doprava nám „Einsteinova rovnice říká, že zakřivení a změna vzdálenost funguje jako pohybující se hmota. „

Komentáře

• Páni – skvělé zjednodušené vysvětlení.
• @levitopher Proč to ‚ s názvem “ stress “ ve stresové energii?
• It bylo to v pořádku: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Odvození Einsteinových polních rovnic (EFE) krok za krokem na mém blogu: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Význam EFE (Wheeler): „Časoprostor říká hmotě, jak se má pohybovat, hmota-energie říká časoprostoru, jak křivkovat“

Jednoduchá slova pro EFE: „Geometrie“ = „Zakřivení“ (žádná torze obecně relativní neznamená, že energetická hybnost je symetrická, jak se ukazuje v případě metrických, Ricciho tenzoru a Einsteinova tenzoru).

Závažnější význam je následující:

– strana s levou rukou: Einsteinův tenzor se skládá ze dvou (tří, pokud počítáte kosmologický termín) kousků. Měří zakřivení způsobené tím, že lokální časoprostorová metrika není konstantní (Minkowského metrika je plochý časoprostor, zapnutá gravitace znamená, že metrika je pole, tj. Závislá na souřadnicích místního časoprostoru), a znamená místní zakřivení měřeno skalárem zakřivení a Ricciho tenzorem, které v kombinaci se způsobem, jakým to Einstein (a Hilbert) udělali, poskytuje divergentní proud (tj. zachování energetické hybnosti rovnicemi na pravé straně).

-Pravá strana: energetická hybnost polí, která způsobuje deformaci časoprostoru / křivka / ohyb. Na tuto stranu můžete přidat kosmologický výraz, který pak dabujete temnou energií … Výsledkem je, že temná energie je nějak (s určitou opatrností) energií vakuového časoprostoru. A myslíme si, že to není jen nenulová, ale hlavní kosmická složka vytvářející hmotnou energii v tuto chvíli (asi 70%, zdá se, že s tím souhlasí satelity WMAP + PLANCK …).