Maximum gravitačního praku

Lze získat odhad velikosti řádu maximální rychlost dosažitelná gravitačními praky bez skutečného výpočtu.

Zdůvodnění „hrubé fyziky“ zní následovně:

Gravitační pole planet používaných pro praky musí být dostatečně silné, aby „uchopilo“ rychlou vesmírnou loď. Protože planeta nemůže „uchopit“ kosmické lodě pohybující se rychleji, než je úniková rychlost planety, je nemožné vystřelit z kosmické lodi rychlost nad únikové rychlosti planet.

Takže bez ohledu na to, jak často naše sluneční energie systémové planety se seřadí a bez ohledu na to, jak často se vám podaří vytáhnout dokonalý gravitační prak, jste prakticky omezeni na rychlosti nepřesahující zhruba maximální únikovou rychlost ve sluneční soustavě (tj. 80 km / s nebo 0,027% rychlosti světla , úniková rychlost Jupitera).

(Poznámka: při práci s dobře definovanými trajektoriemi lze výše uvedený argument upřesnit a získat správné všechny numerické faktory.)

Komentáře

• Musel bych s vámi nesouhlasit. Pokud byste narazili na nebeské těleso ze správného úhlu, stále byste byli schopni jednou získat jeho orbitální rychlost, když byste měli výstřednost 1,4142, což znamená, že překračuje únikovou rychlost. Nebo máte na mysli hyperbolickou přebytečnou rychlost rovnající se únikové rychlosti (což by znamenalo výstřednost 3), ale stále by to umožnilo získat asi 40% orbitální rychlosti. Snižuje se, ale stále bych si myslel, že je to významné.
• @fibonatic – Hádáte se o faktorech o hodnotě 1,4 $ v řádu řádové velikosti?
• 1,4 není o řád nižší buď.

Čím rychleji jedete, tím menší rychlost teoreticky můžete získat díky gravitační asistenci.

Důvodem je to, že čím rychleji jedete, tím těžší je ohýbat oběžnou dráhu. Abychom tomu dokázali, musíme použít opravenou kuželosečku aproximace, což znamená, že zatímco ve sféře obíhá Kepler lze použít. Kouli lze zjednodušit tak, aby byla nekonečně velká, protože tím nebude ovlivněn ohyb aktuálního opraveného kuželosečky. Zatímco výstřednost je nízká (stejná nebo větší než jedna, protože to bude muset být úniková trajektorie), bude se trajektorie moci ohýbat o 360 ° a účinně tak obrátit relativní rychlost vesmírného plavidla s nebeským tělesem, takže změna v rychlost by byla dvakrát větší než relativní rychlost, což je také teoretický maximální zisk. Když se výstřednost zvyšuje, tento úhel se zmenšuje. Tento úhel lze odvodit z následující rovnice:

$$ r = \ frac {a (1-e) ^ 2} {1 + e \ cos (\ theta)} $$

kde $ r $ je vzdálenost od kosmické lodi k těžišti nebeského tělesa, $ a $ je poloviční hlavní osa, $ e $ je výstřednost a $ \ theta $ je skutečná anomálie.Poloviční hlavní osa a excentricita by během trajektorie měly zůstat konstantní, takže poloměr by byl pouze funkcí skutečné anomálie, která je podle definice rovna nule při periapsi, a proto maximální velikost ohybu bude zhruba dvojnásobkem skutečné anomálie na $ r = \ infty $, což znamená

$$ \ theta _ {\ infty} = \ lim_ {r \ to \ infty} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {a (1 -e) ^ 2-r} {er} \ right) = \ cos ^ {- 1} (- e ^ {- 1}) $$

Když je výstřednost opravdu vysoká, tento úhel se stane 180 °, což znamená, že trajektorie je v podstatě přímka.

Existuje několik způsobů, jak změnit výstřednost. V tomto případě by relevantní proměnné byly:

• hyperbolická nadměrná rychlost , $ v_ \ infty $, které budou stejné relativní rychlosti, s jakou se kosmická loď „setkává“ s nebeským tělesem, tím mám na mysli, že sféra nebeských těles je ve srovnání s rozsahem oběžných drah nebeských těles kolem Slunce velmi malá, takže relativní rychlost může být aproximuje se rozdílem orbitální rychlosti vzhledem ke slunci, aproximuje se Keplerovou dráhou při střetu mezi nimi při použití trajektorie ignorující interakci mezi nimi.
• Výška periapsis , $ r_p $, což je v zásadě omezeno poloměrem nebeského tělesa (povrchové nebo vnější atmosféry).
• gravitační parametr nebeského tělesa, $ \ mu $.

$$ e = \ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 $$

Gravitační parametr je uveden pouze jako pecifické nebeské těleso, protože je žádoucí nižší excentricita, proto by měla být periapsa nastavena na spodní hranici, poloměr nebeského tělesa. Tímto způsobem je výstřednost pouze funkcí hyperbolické nadměrné rychlosti a tedy relativní rychlosti kosmické lodi s nebeským tělesem.

Pomocí trochu více matematiky lze ukázat, jaká by byla změna rychlosti po taková blízká gravitační asistence. K tomu používám souřadnicový systém s jednotkovým vektorem rovnoběžným se směrem relativní rychlosti setkání, $ \ vec {e} _ {\ parallel} $ a kolmý jednotkový vektor, $ \ vec {e} _ {\ perp } $:

$$ \ Delta \ vec {v} = -v_ \ infty \ left (\ left (\ cos {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} + 1 \ right) \ vec {e} _ {\ parallel} + \ sin {\ left (2 \ theta_ \ infty \ right)} \ vec {e} _ {\ perp} \ right) = \ frac {2 {\ | \ vec { v} _ \ infty \ |}} {\ left (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} + 1 \ right) ^ 2} \ left (\ sqrt {\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2 } {\ mu} \ vlevo (\ frac {r_p v_ \ infty ^ 2} {\ mu} +2 \ vpravo)} \ vec {e} _ {\ perp} – \ vec {e} _ {\ paralelní} \ vpravo) $$

$$ {\ | \ Delta \ vec {v} \ |} = \ frac {2 \ mu v_ \ infty} {r_p v_ \ infty ^ 2 + \ mu} $$

Při vykreslování těchto hodnot pro Zemi tedy $ \ mu = 3,986004 \ krát 10 ^ {14} \ frac {m ^ 3} {s ^ 2} $ a $ r_p = 6,381 \ krát 10 ^ { 6} m $ (použil jsem rovníkový poloměr plus nadmořskou výšku, ve které lze zanedbávat atmosférický efekt, 300 km), dosáhli byste následujících výsledků:

Pokud chcete Pokud jde o nejvyšší možnou rychlost, pak chcete, aby tato změna rychlosti byla ve směru vaší rychlosti kolem Slunce. Pokud máte dostatek času a oběžná dráha je dostatečně výstřední, že protíná několik oběžných drah nebeských těles, existuje spousta možností, ale jakmile budete mít únikovou trajektorii ze slunce, projdete v zásadě každým nebeským tělesem maximálně ještě jednou času.

Pokud chcete dosáhnout co nejvyšší rychlosti, možná se budete chtít přiblížit ke slunci na velmi excentrické oběžné dráze, protože jeho „povrch“ úniková rychlost je 617,7 $ \ frac {km} {s} $.

Komentáře

• Ahoj fibonatic, děkuji za odpověď . Aktualizoval jsem otázku o další údaje, protože jsem pochopil, že k výpočtu potřebujete pouze poloměr planety, hmotnost a počáteční rychlost, pokud potřebujete více údajů, dejte mi vědět, získám je za vás.
• Takže maximální gravitační prak, který bychom mohli získat, by byla 0,002 rychlost světla google.co.uk/… , která by nás vzala 2000 let k získání Alpha Centauri google.co.uk/… Děkujeme za skvělou odpověď.
• @MatasVaitkevicius Ne, protože při 0,002 ° C blízko povrchu Slunce byste měli rychlost nula nekonečně daleko od Slunce, nebo když projdete oběžnou dráhu Neptuna, byli byste zpomaleni na 7,7 km / s.

Všichni nad tím příliš přemýšlíte. Efekt praku je o referenčním rámci. Ve vztahu k tělu, ke kterému se blížíte, se musí zvýšení vstupní rychlosti rovnat snížení výstupní rychlosti nebo musíte porušit jednoduché fyzikální zákony (tj. Gravitaci). Z pohledu sluneční soustavy budete mít čistý přírůstek rychlosti, pokud se přiblížíte k planetě správným směrem, jinak budete mít po opuštění pokles čisté rychlosti.Teoretické zvýšení maximální rychlosti při výstupu je tedy funkcí rychlosti těla hostitele (praku) v referenčním rámci a vektoru přiblížení.