Mám potíže s Ho-Leeho modelem pro krátké rychlosti a rozlišováním mezi tím, jak najít hodnoty volného parametru λ oproti použití model pro předpověď budoucích sazeb.
Ho-Leeův model pro každý krok v binomickém stromu: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Četl jsem to pro nastavení volného parametru v každém kroku v rekombinačním binomickém stromu nastavíte rychlost ve stavu 0 na aktuální spotovou rychlost (tj. spotovou rychlost 1 měsíc) a najdete hodnotu lambda, která při připojení k modelu bude mít za následek aktuální spotová sazba pro další časový krok (např .: počínaje 1měsíční spotovou rychlostí ve stavu 0 a použitím 1měsíčního časového kroku, správná hodnota pro lambda po připojení k modelu vytvoří aktuální 2měsíční spotovou rychlost atd.).
To mě mate. Jakmile jsem určil hodnotu lambda pro každý krok v mém stromu, jaké vstupy změním, abych použil model s mým košem omial tree to forecast futures rates .. ie: one month rate in one month, in two months etc?
V případě, že můj popis není jasný, je zde kromě knihy od Bruce Tuckmana předmět.
… najít λ1 tak, aby model vytvářel dvouměsíční spotovou sazbu rovnou tržní sazbě. Pak najděte λ2 tak, aby model vytvářel tříměsíční spotovou sazbu rovnou té na trhu. Pokračujte tímto způsobem, dokud strom neskončí.
Odpovědět
Víte že model Ho-Lee je reprezentován stochastickými diferenciálními rovnicemi \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} Abychom implementovali náš binomický strom, použijeme diskretizaci Euler. \ begin {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} kde $ Z $ je standardní normální náhodná proměnná. Nechte $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ a rozšířit rovnici, v diskrétním čase \ begin {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Tento vztah ukazuje, že krátká rychlost je součtem množiny nestochastických driftových členů a množiny náhodných členů Cena nulového kupónu s nulovým kupónem bez arbitráže $ P (t, t + \ Delta t) $ bude tedy uvedena jako
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} Například výpočet ceny dluhopisu v čase $ n = 2 $, dává nám: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}]] end {align} jinými slovy \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ right) \ end {align} V tomto případě $ r_t $ má normální rozdělení, tedy \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Ale \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Lze jej přepsat jako: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} then \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Tento relaton dává potřebné rekurzivní vztahy k vývoji modelu Ho-Lee bez arbitráže krátkých rychlostí. Bereme soubor cen dluhopisů a strukturu volatility jako vstup pro krátké sazby. Proto dostaneme evoluční rovnici, která bude zobrazovat binomický strom modelu.
Komentáře
- Děkujeme za vaši odpověď, i když ' s nad mou úrovní porozumění. Jednoduše řečeno, chápu, že účelem modelu je modelovat budoucí sazby. Četl jsem ', že v každém kroku stromu nastavíme volné parametry tak, aby model vyplivl aktuální spotové rychlosti. Pokud víme, že je model kalibrován, jaké vstupy bych změnil, abych jej mohl použít k modelování budoucích sazeb?