Najděte h [n] pomocí vlastností DTFT

Zatímco jedná se o váš domácí úkol (a docela základní), „kousnu. Připomeňme si definici DTFT :

$$ X (\ omega) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} x [n] e ^ {- j \ omega n} $$

A připomeňme si definici frekvenční odezvy $ H ( \ omega) $:

$$ H (\ omega) = \ frac {Y (\ omega)} {X (\ omega)} $$

kde $ x [n ] $ je vstup do systému a $ y [n] $ je jeho výstup. Zkombinujte tyto dvě rovnice:

$$ \ begin {eqnarray *} H (\ omega) X (\ omega) & = & Y (\ omega) \\ \ frac {1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}} { 1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}} X (\ omega) & = & Y (\ omega) \ \ (1 – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega}) X (\ omega) & = & (1 – a ^ 4 e ^ {- j \ omega}) Y (\ omega) \\ X (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j 4 \ omega} X (\ omega) & = & Y (\ omega) – a ^ 4 e ^ {- j \ omega} Y (\ omega) \ end {eqnarray *} $$

Nyní proveďte inverzní DTFT na obou stranách rovnice. Podle definice jsou $ X (\ omega) $ a $ x [n] $ transformační pár; podobně za $ Y (\ omega) $ a $ y [n] $. U ostatních dvou výrazů si vzpomeňte na vlastnost časového posunu DTFT:

$$ x [nk] \ leftrightarrow e ^ { -jk \ omega} X (\ omega) $$

, které lze snadno zobrazit z definice DFT. Pomocí této vlastnosti se inverzní rovnice transformuje na specifikaci rozdílové rovnice systému:

$$ x [n] – a ^ 4 x [n-4] = y [n] – a ^ 4 y [n-1] $$

$$ y [n] = x [n] – a ^ 4 x [n-4 ] + a ^ 4 y [n-1] $$

Toto je definice rekurzivního filtru, kterým jsou obvykle IIR; to je případ tohoto. Nalezení impulzní odezvy je snadné; nechť $ x [n] = \ delta [n] $ a zjistíme, že výstup systému je:

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4 ( n-4) +4} u [n-4] $$

$$ y [n] = a ^ {4n} u [n] – a ^ {4n-12} u [n- 4] $$

Výše uvedené je vyneseno pro $ a = 0,99 $. Je třeba poznamenat, že systém je stabilní pouze pro $ | a | \ le1 $.

Komentáře

• I ' Snažili jsme se vypočítat impulsní odezvu, ale zamotali jsme se. Můžete ukázat, jak to ' probíhá? děkuji.

$$ \ begin {align *} H (\ omega) & = \ frac {1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)} {1-a ^ 4 \ exp (-j \ omega)} \\ & = (1-a ^ 4 \ exp (-4j \ omega)) \ sum_ {n = 0} ^ \ infty (a ^ 4 \ exp (-j \ omega)) ^ n \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) – \ sum_ {n = 0} ^ \ infty a ^ {4n +4} \ exp (- (n + 4) j \ omega) \\ & = \ sum_ {n = 0} ^ 3 a ^ {4n} \ exp (-nj \ omega) + \ sum_ {n = 4} ^ \ infty [a ^ {4n} – a ^ {4n-12}] \ exp (-nj \ omega) \\ h [n] & = \ begin {cases} 0, & n < 0, \\ a ^ {4n}, & n = 0, 1, 2, 3, \\ a ^ {4n} – a ^ {4n-12}, & n \ geq 4. \ end {cases} \ end {align *} $$ Vzhledem k tomu, že impulzní odezva se rozšiřuje na $ \ infty $, jedná se o filtr IIR. JasonR ve své odpovědi uvádí, že filtr je stabilní pouze pokud $ | a | < 1 $. Ve skutečnosti je filtr stabilní, když $ | a | \ leq 1 $ a je nestabilní pouze pro $ | a | > 1 $. Když však $ | a | = 1 $, ze vzorce geometrické řady $ 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 = \ frac {1-r ^ 4} {1-r} $, dostaneme $$ H (\ omega) = \ frac {1- \ exp (-4j \ omega)} {1- \ exp (-j \ omega)} = 1 + \ exp (-j \ omega) + \ exp (-2j \ omega) + \ exp (-3j \ omega) $$ je přenosová funkce (stabilního) FIR filtru, který lze popsat jako krátkodobý integrátor nebo krátkodobý průměr (se ziskem $ 4 $).

Komentáře

• Pěkná alternativní derivace. Ve své odpovědi jsem také opravil svůj požadavek na stabilitu.