Nejlepší způsob, jak se naučit trigonometrii

Schaumovy obrysy jsou obecně velmi praktické a levné. Vhodné pro staršího žáka. Často odpovědi jsou hned po problémech versus na konci. A získáte všechny odpovědi, ne lichý / sudý gyp. Hodí se tedy pro samoučení.

Líbí se mi tento, celkově a vlastní: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Je z roku 1960, takže jazyk není archaický, ale není „Nový“. Nejste si jisti, jakou jinou výhodu než jazyk od novějších verzí chcete, ale pokud chcete novější, mají místo toho nedávné 4. vydání College Math, které můžete získat.

Poznámka, toto je obecná předběžná kalkulace kniha (a pravděpodobně to, co potřebujete). Ale pokud chcete jen trig primer, Schaum má také to. Je zřejmé, že v triggo knize je více trigových problémů než v precalc knize (která zahrnuje všechny běžné kurzy pro střední školy).

Ps To by snadněji vám poradím, kdybyste nám řekli, jaké knihy vám selhaly. Stejně jako jsem marně napsal dlouhou odpověď?

Pss Nejsem si jistý, proč je trig tolik překážkou lidem. Ale doporučuji nejprve myslet na hřích a cos a podobně v kontextu jednotkové kružnice, ne poměrů stran trojúhelníků. Je to jen o něco jednodušší koncept a bez poměru, který je třeba sledovat.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn to zde trochu komplikuje tím, že hovoří o poměrech. Ale když jsem se to naučil, velkou výhodou byl úplně první úvod bez poměrů … jen osy x a y kruhové jednotky.

Komentáře

• Děkujeme za odpověď! A máte ‚ pravdu, měl jsem zmínit, jaké knihy. 3 knihy are Trigonometry, 5th edition by Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies by Mary Sterling, and College Trigonometry by Stitz and Zeager, 2013. I ‚ ll be started precalc na uni jednou skončí léto a já si ‚ jistě budu ‚ dostatečně brzy spokojen s trigem. Jen doufám, že se toho dost naučím v střední čas, takže dokončím svůj první kurz bez přílišných nárazů po silnici.
• Ujistěte se, že máte spoustu problémů. Možná máte pocit, že “ se mi ‚ nedostává „. Ale pokud pracujete s velkým množstvím problémů, prostě se vám to vryje do hlavy. A pracovní problémy znamenají zakrýt odpověď a celý problém vyřešit. Kontrola vaší odpovědi. Opakování (zcela) jakýchkoli problémů zmeškaných od nuly (i pro chyby hloupého podepisování). Zacházejte s ním jako s fyzickým tréninkem pro sport nebo učením se na hudební nástroj. Buďte pilní.
• @RustyCore Aby bylo jasno, převádím ‚ z místní vysoké školy. To, co jsem studoval na vysoké škole, nesouviselo s matematikou a mělo velmi malé matematické požadavky, proto byla moje první matematická třída na uni precalc.
• @guest, rozumím. Ale myslím si, že Rusty byl drzý a hrubý. Jsem si ‚ plně vědomý toho, že získání tohoto titulu bude pravděpodobně nejnáročnější a nejstresující období mého života, ale ‚ opravdu nechci uzavřít se před tím jen proto, že mi ‚ těžko s jedním předmětem. Většina lidí přestane a říká, že ‚ prostě nejsou matematičtí lidé, když stojí před překážkou a okamžitě se uzavírají před další matematikou nebo základem, který potřebují osvěžit. ‚ se tomu snažím vyhnout, protože jsem to udělal přesně v předchozích letech.
• @Lex_i, zníš jako zralý student a měl jsem spoustu studentů jako vy, kteří vynikáte. Doufám, že vám vaše matematická dobrodružství přinesou radost.

Možná by vaše studium mohlo doplnit vizuální přístup? Existuje mnoho takových zdrojů dostupných na webu, nikoli v učebnicích. Např. Spustit intuitivně :

---

         
          ^{Poznámka: štítky ukazují, kde každá položka „jde . “}

---

Další: Interaktivní kruh jednotek . Další: Inverzní spouštěcí funkce .

Komentáře

• it ‚ je užitečné schéma. Přidal bych odmítnutí odpovědnosti, že se používá koncept podobných trojúhelníků, aby se zabránilo záměně.
• Myslím, že diagram by byl užitečnější, kdyby ukazoval úhel a jaké jsou všechny funkce funkcí . Vypadá to, že ‚ s je navržen tak, aby si pamatoval to, co už víte, ne pro učení se spouštění od nuly.
• @JessicaB: 1st, není to můj diagram: -). 2. existuje příběh, který s tím souvisí; není zamýšleno samostatně. Za třetí, považuji za užitečné vidět například to, že $ \ sin \ le \ tan $ a $ \ sec \ ge \ tan $ a $ \ tan $ mohou být neomezené atd.
• @ JessicaB: PS. Úhel je úhel ve středu kruhu, který je na mém snímku bohužel téměř neviditelný.
• @JosephO ‚ Rourke, vím, že jsi ‚ nenakreslete to. A teď vím, že úhel je ten ve středu, protože znám trig. Ale když jsem na něj poprvé narazil, byl jsem velmi zmatený, protože jsem ‚ t nezachytil vztah k úhlu.

Osobně bych raději doporučil učebnici, kterou si mohu stáhnout nebo vyzvednout, která [nejlépe] není stará a nemá nedělat trigonometrii zastrašující, aby se přiblížila (zejména ta, která zdůrazňuje porozumění důkazům za vlastnostmi / větami).

Nemám učebnice, které bych doporučil, ale mohu doporučit přístup k provádění trigonometrie, která usnadňuje matematické porozumění krystalizací logické základy trigonometrie a algebraické struktury trigonometrických výrazů. dvě „úrovně“, v závislosti na tom, zda chcete jít rovnou na kompl ex čísla nebo zůstat ve skutečné trigonometrii. V obou případech je kladen důraz na identifikaci vnitřního jádra trigonometrie a redukci všeho na to.

---

Skutečná trigonometrie

Klíčové veličiny jsou $ \ cos (t) $ a $ \ sin (t) $ , což jsou $ x $ a $ y $ souřadnice bodu $ P_t $ na kružnici jednotky, která zužuje oblouk délky $ t $ proti směru hodinových ručiček z $ x $ -axis, jak je znázorněno na obrázku z wikipedia :

Zde se měří délka oblouku podél kruhu jednotky a $ π $ je definován jako délka oblouku půlkruhu, takže $ 2π $ je 360 $ ° $ . (Tento způsob měření úhlů se často nazývá jejich měření v “ radiánech „, ale osobně si myslím, že je to zbytečný termín.) Poznámka že $ P_t = P_ {t + 2πk} $ pro celé číslo $ k $ , protože $ 2πk $ by byl celočíselný násobek celých kol. Mějte také na paměti, že zvýšení $ t $ posune $ P_t $ proti směru hodinových ručiček, přičemž se sníží $ t $ posune $ P_t $ ve směru hodinových ručiček. Související s tím je $ P _ {- t} $ odrazem $ P_t $ napříč $ x $ -axis.

Všimněte si, že znaky $ \ cos (t) $ a $ \ sin (t) $ přesně odpovídají znakům $ x $ a $ y $ souřadnice bodu v kruhu. (Neposlouchejte lidi, kteří vám říkají, abyste si něco zapamatovali, abyste zjistili, který z nich je v kterém kvadrantu pozitivní.)

A podle definice $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ za každý skutečný $ t $ . Toto je první klíčový algebraický fakt .

Dále $ \ tan (t) $ je definováno jako $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historicky jsme také definovali $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ a $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ a $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , ale upřímně řečeno, existuje jen malá výhoda, když jich tolik máte, když stačí $ \ cos, \ sin $ .) Kdykoli si přejete zjednodušit jakýkoli trigonometrický výraz zahrnující $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , měli byste pravděpodobně provést standardní matematickou techniku přepis v kanonické podobě , což v tomto případě znamená přepis v samotném $ \ cos, \ sin $ , zatímco bere na vědomí, kde není definován původní výraz (například $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ pro jakýkoli skutečný $ t $ pouze v případě, že $ t $ není násobkem $ π $ ).

Další klíčová algebraická fakta vznikají z uvažování rotačních matic aplikovaných na vektory. (Pokud nejste obeznámeni s maticemi jako operátory vektorů, přečtěte si nejprve toto . Úvod do vektorů v euklidovském prostoru najdete v zde .) Nechť $ R $ být libovolná rotace o počátku v rovině. Potom $ R $ splňuje tři vlastnosti:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ pro všechny vektory $ u, v $ (tj. Sečtením dvou vektorů a následným otočením výsledku se získá to samé jako otočení dva vektory nejprve, než je sčítáme).
2. Pokud $ R, S $ jsou rotace úhlů proti směru hodinových ručiček $ t, u $ , pak $ R∘S $ je rotace úhlu proti směru hodinových ručiček $ t + u $ .
3. Pokud $ R $ je rotace úhlu $ t $ , pak:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t) $ pro jakoukoli skutečnou $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t) $ pro jakoukoli skutečnou $ y $ .

Tyto vlastnosti můžeme brát jako axiomy (předpoklady) o rotacích. Koneckonců, pokud je $ R $ neuspokojí, pak bychom $ R $ rotaci nenazvali začít s. Abychom zjistili proč, vlastnost (1) zachycuje intuici, že rotací dvou spojených tyčí se obě tyče budou otáčet o úhel rotace při zachování místa, kde se spojují. Vlastnost (2) je nutná pouze ve spojení s vlastností (3). Vlastnost (3a) vyplývá z definice $ \ cos, \ sin $ a vlastnost (3b) vyplývá ze stejné definice otočené $ 90 ° $ proti směru hodinových ručiček.

Vlastnosti (1) a (3) poskytují maticovou formu 2d rotace:

Pokud $ R $ je rotace úhlu proti směru hodinových ručiček $ t $ , pak $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

A poté pomocí vlastnosti (2) my get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ pro libovolné oblasti $ t, u $ .

Násobení maticového produktu vpravo a porovnání s maticí vlevo okamžitě dává úhel- součet identit:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ pro všechny reálné oblasti $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ pro všechny reality $ t, u $ .

Kdykoli chcete zjednodušit výrazy zahrnující trigonometrické funkce na součty úhly, měli byste zvážit použití těchto identit pro snížení výrazu ve smyslu $ \ cos, \ sin $ z co nejmenšího úhlu.

Ve skutečnosti jsou všechny trigonometrické i dentity zahrnující pouze aritmetické operace a trigonometrické funkce lze prokázat pouze pomocí výše uvedených definic a klíčových algebraických faktů. Trochu zvláštní je, že i vlastnosti symetrie lze dokázat algebraicky následujícím způsobem.

Vzhledem k jakékoli skutečné $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ rozpětí>. [úhel-součet]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [úhel-součet]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Pokud jde o skutečnou analýzu, potřebovali bychom následující fakta, která mohou být prozatím považována za axiomy (a později odůvodněna samostatně):

1. $ \ sin „= \ cos $ .
2. $ \ cos „= – \ sin $ .

Stejně jako dříve, vše ca n na ně, takže není třeba si nic víc pamatovat (i když to může být vhodné).

---

Komplexní trigonometrie

Osobně Myslím si, že je nejlepší přejít přímo ke komplexně oceněným trigonometrickým funkcím, pokud si přejete úplné a důkladné základy matematického pole analýzy . Jeden jednoduše definuje: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ pro každý komplex $ z $ (po prokazující, že součet konverguje).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ je dvakrát první kladný kořen $ \ cos $ ( po prokázání, že existuje).

Motivací je, že chceme $ \ exp: \ cc → \ cc $ takové, že $ \ exp „= \ exp $ a $ \ exp (0) = 1 $ , abychom mohli řešit obecné lineární diferenciální rovnice, a chceme $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ takové, aby $ \ cos „“ = – \ cos $ a $ \ sin „“ = – \ sin $ a $ ⟨\ cos (0), \ cos „(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ a $ ⟨\ sin (0 ), \ sin „(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , abychom dokázali vyřešit jednoduchý harmonický pohyb, a Taylorova expanze nás přivádí k výše uvedeným definicím pro $ \ exp, \ cos, \ sin $ , u kterých můžeme prokázat konvergenci v celé komplexní rovině. Výše uvedená definice $ π $ je nejjednodušší, o které vím, nezávisí na žádné geometrii. (Další podrobnosti o této motivaci naleznete v tomto příspěvku .)

Stačí říci, že s těmito definicemi můžeme dokázat základní analýzou že $ \ exp, \ cos, \ sin $ uspokojí požadované motivační vlastnosti i další klíčovou vlastnost z $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ pro jakoukoli složitou $ z, w $ .

Pomocí této vlastnosti můžeme dokázat všechny trigonometrické identity pouze pomocí algebraické manipulace (a platí pro složité proměnné a ne pouze skutečné proměnné).

Například vzhledem k libovolnému složitému $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Přesto je často stále jednodušší nejprve prokázat stejná klíčová algebraická fakta pro $ \ cos, \ sin $ a poté je použít k prokázání jiných identit, než ke snížení všeho na $ \ exp $ .

Komentáře

• Další matematické dotazy můžete získat na tato chatovací místnost .

Do Saylor Academy nebo edX máte něco, co vám pomůže? Oba jsou bezplatnými platformami s matematickými kurzy. Saylor Academy téměř výhradně používá učebnici – můžete si prostřednictvím nich skutečně získat kredit. Modernstates.org vám také může pomoci – mají vlastní kurz s videi, který ho učí. Rootmath může být také dobrým zdrojem. Plánujete získat kredit za tento kurz prostřednictvím Clep?