Jaká je nejobecnější forma vlnové rovnice? Je to $ \ frac {\ částečné ^ 2 \ Psi} {\ částečné t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Může například $ \ frac {\ parciální ^ 2 \ Psi} {\ parciální t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ být vlnovou rovnicí? Pokud ano, jaké je v takovém případě řešení.
Odpovědět
Nejsem si jistý, co máte na mysli $ cte $ , ale předpokládám, že je to nějaká konstanta, ale možná si to špatně vykládám.
Často mluvíme o dvou třídách diferenciální rovnice, homogenní a nehomogenní. Tento rozdíl je kořenem vaší otázky, \ begin {rovnice } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ konec {rovnice} je homogenní forma vlnové rovnice, zatímco \ begin {equation} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {equation} je nehomogenní vlnová rovnice ($ u (\ vec {r}, t) $ může být také konstantní, pokud se nám líbí). všude. Jedním z příkladů je, že elektromagnetické záření v přítomnosti nábojů a proudů je řízeno nehomogenní vlnovou rovnicí, homogenní forma je platná pouze tehdy, když $ \ rho = 0 $ a $ \ vec {J} = 0 $. Podle toho, koho se zeptáte, si myslím, že většina lidí by stále říkala nehom ogeneous wave equation is a wave equation, but that „s to to taste as itss solutions can end up having a very different character to the homogeneous ones.
Obecně toho není mnoho, co mohu říci o těchto řešeních, protože „budou silně záviset na formě $ u $, i když jsem si jist, že vám nějaké googling dá spoustu příkladů.
Komentáře
- Perfektní. A co rovnice tlumených vln? Jaká je jeho podoba?
Odpověď
Mason zvládl rozdíl mezi nehomogenními a homogenními diferenciálními rovnicemi, ale pokud existuje hovoří o nejobecnější možné formě vlnové rovnice, to je,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) $$
kde obě pole mají hodnocení tenzorů $ (m, n) $, podle kterých operátor Laplace-Beltrami $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $, jehož působení na tenzory závisí jak na metrice, tak na jejich pořadí. Pro skalární pole s metrikou $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ se redukuje na nejznámější formu vlnové rovnice, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Výše uvedené lze přepracovat také v jazyce diferenciálních forem.)
To však svým způsobem nepokrývá všechny možnosti. Například v obecné relativitě je pro poruchu $ h_ {ab} $ metriky první změna zakřivení,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ square h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
což je v literatuře chápáno jako „vlnový operátor“ zakřiveného prostoru, protože rozhodně připouští řešení vln, ale zjevně není ekvivalentní vlnové rovnici výše, protože obsahuje další výrazy zahrnující tenzory zakřivení. „Nejobecnější forma“ vlnové rovnice tedy není něco, co bychom si mohli skutečně zapsat, pokud vaše představa o tom není striktně $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
