Očekávaná hodnota distribuce gama

Za předpokladu, že se jedná o náhodnou proměnnou distribuce gama s tvarem $ \ alpha > 0 $ a hodnotí $ \ beta > 0 $ parametry, tj. $ X \ sim Gamma (\ alpha, \ beta) $, můžete najít $ \ mathbb {E} [\ frac {1} {X ^ 2}] $ následujícím způsobem:

Pro libovolnou náhodnou proměnnou X spojité distribuce (jako Gamma), pro kterou $ f $ označuje její funkci hustoty pravděpodobnosti (ve vašem příkladu $ f (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $) a pro jakoukoli funkci $ g $ této proměnné (ve vašem případě $ g (x) = \ frac {1} {x ^ 2 } = x ^ {- 2} $), platí: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ int \ limity _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} g (x) f (x ) dx $$

Ve vašem příkladu se to velmi zjednodušuje (pozor na $ -3 $): $$ g (x) f ( x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 3} e ^ {- \ beta x} $$ Frakce nezávisí na $ x $ , takže jej lze dát mimo integrál.

Mimochodem, pro diskrétní distribuci je to velmi podobné: $$ \ mathbb {E} [g (x)] = \ sum \ limits_ {x \ in \ mathcal {X}} g (x) f (x), ~~ \ text {kde} ~ \ mathcal {X} ~ \ text {označuje podporu pro X (sadu hodnot, které může nabývat)} $$

---

Už vás nebudu udržovat v napětí. Nejprve si připomeňme, že $ \ Gamma (\ alpha + 1) = \ alpha \ cdot \ Gamma (\ alpha) $.

Nechť $ f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ beta ^ {\ alpha}} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha – 1} e ^ {- \ beta x} $. Kombinace těchto dvou výsledků vede k přímému pozorování: $$ x \ cdot f _ {\ alpha} (x) = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ cdot f _ {\ alpha + 1} (x) $$ Postupně: $ $ \ frac {f _ {\ alpha + 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha} \ cdot f _ {\ alpha} (x) $$ Při tomto použití dvakrát získáte výsledek :

$$ \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {f _ {\ alpha- 1} (x)} {x} = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} \ cdot f _ {\ alpha-2} (x) $$ Nakonec (jako $ f _ {\ alpha-2} (x) $ je také PDF, jehož integrál se rovná $ 1 $): $$ \ mathbb {E} (\ frac {1} {X ^ 2}) = \ int \ limits_ { – \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac {f _ {\ alpha} (x)} {x ^ 2} dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} { \ alpha-2} \ cdot \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f _ {\ alpha-2} (x) dx = \ frac {\ beta} {\ alpha-1} \ cdot \ frac {\ beta} {\ alpha-2} $$ Výše uvedené řešení je pro tento konkrétní případ, ale jak zdůraznil whuber , obecnější případ pro všechny skutečné a pozitivní $ p \ in \ mathbb {R}, ~ p > 0 $ platí: $$ \ mathbb {E} (X ^ p) = \ beta ^ p \ cdot \ frac {\ Gamma (\ alpha + p)} {\ Gamma (\ alpha)} $$

Komentáře

• @TJ Phu Dejte nám vědět, s čím máte opravdu problém, možná s výpočtem tohoto integrálu? Dejte nám vědět. Zkuste však sledovat komentáře gung a Silverfish a vylepšit celkové rozvržení otázky.
• @TJ Phu Možná moje úplně první poznámka o tom, jak udělat raw integrace byla trochu zavádějící. Dejte mi vědět, zda zcela rozumíte mému řešení (jednoduše přijetím / zaškrtnutím mé nebo whuberové odpovědi).

Chtěl bych to udělat líně: tím, že začnu s definicí a důkladně se podívám na to, co následuje, aby uvidíme, jestli mi někdo už ukázal odpověď. V následujícím textu nejsou vůbec nutné žádné výpočty a k dodržování algebry jsou zapotřebí pouze nejjednodušší pravidla (exponentů a integrálů).

---

Začněme s distribucí gama.Vyberte měrnou jednotku $ X $ , ve které $ \ beta = 1 $ , abychom mohli spravedlivě řečeno $ X $ má distribuci $ \ Gamma (\ alpha) $ . To znamená, že hustota je kladná pouze pro kladné hodnoty, kde je prvek hustoty pravděpodobnosti dán

$$ f_ \ alpha (x) dx = \ frac {1 } {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. $$

(Pokud vás zajímá, výraz $ dx / x $ je vysvětlen na https://stats.stackexchange.com/a/185709 . Pokud se vám to nelíbí, nahraďte $ x ^ \ alpha dx / x $ za $ x ^ { \ alpha-1} dx $ .)

Připomeňme, že je zde normalizační konstanta pro vytvoření integrálu $ f_ \ alpha (x) dx $ jednota, odkud můžeme odvodit, že

$$ \ begin {aligned} \ Gamma (\ alpha) & = \ Gamma (\ alpha) (1) = \ Gamma (\ alpha) \ int_0 ^ \ infty f_ \ alpha (x) dx = \ frac {\ Gamma (\ alpha)} {\ Gamma (\ alfa )} \ int_0 ^ \ infty x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} \\ & = \ int_0 ^ \ infty x ^ { \ alpha} e ^ {-x} \ frac {dx} {x}. \ end {aligned} \ tag {1} $$

Nezáleží na tom, jaké číslo $ \ Gamma (\ alpha) $ ve skutečnosti je. Stačí vidět, že je dobře definovaný a konečný za předpokladu, že $ \ alpha \ gt 0 $ a jinak se liší.

Nyní se podívejme na pravidla očekávání. “ zákon nevědomého statistika “ říká očekávání jakékoli funkce $ X $ , například $ X ^ p $ pro nějakou moc $ p $ (což je obvykle pozitivní, ale může být negativní a dokonce složité), je získáno integrací této funkce $ x $ proti hustotě:

$$ E [X ^ p] = \ int_0 ^ \ infty x ^ p \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} x ^ {\ alpha} e ^ {- x} \ frac { dx} {x}. $$

---

Je čas zírat. Ignorování integrálu, integrand je dostatečně jednoduchý výraz. Pojďme jej přepsat pomocí pravidel algebry a během toho přesunout tuto konstantní hodnotu $ 1 / \ Gamma (\ alpha) $ z integrálu:

$$ E [X ^ p] = \ frac {1} {\ Gamma ( \ alpha)} \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ a lpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x}. \ tag {2} $$

To by mělo vypadat strašně povědomě: to “ je jako jiná funkce hustoty distribuce gama, ale s výkonem $ p + \ alpha $ namísto $ \ alpha $ rozpětí>. Rovnice $ (1) $ nám okamžitě , bez dalšího přemýšlení nebo výpočtu, říká, že

$$ \ int_0 ^ \ infty x ^ {p + \ alpha} e ^ {- x} \ frac {dx} {x} = \ Gamma (p + \ alpha). $$

Připojením do pravé strany $ (2) $ výnosy

$$ E [X ^ p] = \ frac {\ Gamma (p + \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)}. $$

Vypadá to, že bychom měli mít (skutečná část) $ p + \ alpha \ gt 0 $ , aby se to sblížilo, jak bylo uvedeno výše.

---

Jako dvojitou kontrolu můžeme použít náš vzorec k výpočtu prvních několika okamžiků a porovnat je, řekněme, co Wikipedia říká . Pro průměr získáme

$$ E \ left (X ^ 1 \ right) = \ frac {\ Gamma (1+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha $$

a pro druhý (nezpracovaný) okamžik

$$ E \ left (X ^ 2 \ right) = \ frac {\ Gamma (2+ \ alpha)} {\ Gamma (\ alpha)} = \ alpha (\ alpha + 1). $$

V důsledku toho je odchylka $$ E \ left (X ^ 2 \ right) – E (X) ^ 2 = \ alpha (\ alpha + 1) – \ alpha ^ 2 = \ alpha. $$

Tyto výsledky dokonale souhlasí s autoritou. Nejsou žádné problémy s konvergencí, protože od $ \ alpha \ gt 0 $ jsou oba $ \ alpha + 1 \ gt 0 $ a $ \ alpha + 2 \ gt 0 $ .

---

Nyní můžete bezpečně připojit $ p = -2 $ a vyvodit závěry ohledně původní otázky. Nezapomeňte zkontrolovat podmínky, za kterých existuje odpověď.A nezapomeňte změnit jednotky $ X $ zpět na původní: tím se vaše odpověď znásobí $ \ beta ^ p $ (nebo $ \ beta ^ {- p} $ podle toho, co si myslíte, $ \ beta $ je měřítko nebo sazba ).