Tato otázka je možná trochu líná, ale může mi někdo dát důkaz o formuli Hill Sphere? Podle wikipedia je vzorec pro poloměr $ r $
$$ r \ cca a (1-e) \ vlevo (\ frac {m} {3M} \ vpravo) ^ {1/3} $$
kde těleso o hmotnosti $ m $ obíhá kolem mnohem hmotnějšího tělesa o hmotnosti $ M $ s semi-major axis $ a $ and excentricty $ e $.
Komentáře
- Podívejte se na úvod v tento článek .
- Umístěte zkušební hmotu mezi dvě hmoty, předpokládejte, že počátek je ve větší hmotě a vypočítejte, kde jsou velikosti obou sil stejné?
- @Dave, že ‚ je docela fajn papír (‚ jsem plánoval něco udělat dnes, ale teď …) a Jsem si jistý, že to tam ‚ je; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ a “ jednotka délky se zmenší o faktor µ $ {} ^ { 1/3} $ “ ale ‚ nevidím, jak získat (1- e ) vpředu tak snadno.
- Protože a (1-e) je periastron?
- Zdá se, že ‚ ve skutečnosti přidali derivaci na stránku wikipedia – zajímavé je, že na stránce wikipedia není zmíněno, že tento povrch není sférický, znamená to, že dojde ke ztrátě částice na ose (minimálně během jedné události – více nerezonančních událostí nakonec zbaví veškerý materiál venku poloměru kopce opouštějící sféru)
odpověď
Hill sféra je definována mírně odlišně od Rocheova laloku , ale poloměr je aproximován vzdáleností k Lagrangeovým bodům L 1 a L 2 .
Pro kruhový pohyb s úhlovou rychlostí $ \ omega $ kolem počátku máme:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Zrychlení v důsledku gravitace z bodové hmoty na jinou hmotu na pozici $ \ mathbf {r} $ je dáno obvyklým zákonem inverzních čtverců:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Nyní zvažte systém se dvěma těly s hmotami
sub > 1 < / sub >
Toto je jednorozměrný systém, takže můžeme přecházet z vektorů na skaláry. Z definice těžiště máme:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Pro oběžnou dráhu $ m_2 $ kolem těžiště rovnice gravitačního zrychlení s požadovaným zrychlením pro kruhový pohyb dává:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
A poté vyjádřit $ r_2 $ ve smyslu $ r_1 $ dává Keplerovu třetí zákon:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Dále najdeme vzdálenost k bodu L 1 , kde se gravitační síly primárního a sekundárního prvku spojí, aby poskytly požadované zrychlení pro kruhový pohyb.Rovnání zrychlení pro kruhový pohyb s gravitačními silami dává:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
A nahrazení $ \ omega $ má za následek:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ right)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Poté to přepište z hlediska hmotnostního poměru $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ a relativní vzdálenosti $ z = \ frac {h} {r} $ , přičemž:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Výsledkem je kvintická rovnice pro $ z $ , která musí být řešena numericky, protože obecná kvintika nemá algebraická řešení (Jsem č nebudu předstírat, že rozumím důkazu toho ).
Za předpokladu, že jsme v situaci, kdy $$ \ begin {aligned} 1 + q & \ přibližně 1 \\ \ vlevo (1 – z \ vpravo) ^ {- 2} & \ přibližně 1 + 2z \ konec {aligned} $$
Kde druhý řádek je binomická aproximace . To dává:
$$ 1 – z \ cca 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Změna uspořádání vyřešit pro $ z $ :
$$ z ^ 3 \ cca \ frac {q} {3} $$
A poté pomocí definic $ z $ a $ q $ toto se stane
$$ h \ přibližně r \ vlevo (\ frac {m_2} {3 m_1} \ vpravo) ^ {1 / 3} $$
Což je obvyklý vzorec pro velikost Hill sféry.
Pro L 2 , Lagrangeův bod je umístěn za sekundárem, takže rovnice gravitační síly a kruhového pohybu se stává:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h „\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h“ \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h „^ 2} $$
Kde $ h „$ je vzdálenost od sekundárního bodu k bodu L 2 .
Náhradník v $ \ o mega $ a přepisování ve smyslu $ q $ a $ z „= \ frac {h“} { r} $ dává:
$$ 1 + z „\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z“ \ right ) ^ {- 2} + qz „^ {- 2} $$
Toto opět dává kvintickou rovnici pro $ z“ $ , ale můžeme udělat podobné aproximace jako v případě L 1 :
$$ \ begin {aligned} 1 + q & \ přibližně 1 \\ \ vlevo (1 + z „\ vpravo) ^ {- 2} & \ přibližně 1 – 2z „\ end {aligned} $$
Toto dává:
$$ 1 + z“ \ cca 1 – 2z “ + qz „^ {- 2} $$
Zjednodušení a opětovné nahrazení proměnných:
$$ h“ \ přibližně r \ doleva (\ frac {m_2} {3m_1} \ doprava) ^ {1/3} $$
Toto funguje pro kruhové dráhy. U excentrických oběžných drah je obvyklým přístupem jednoduše nahradit vzdálenost $ r $ pericentrovou vzdáleností $ a \ left (1 – e \ right) $ , kde $ a $ je semimajorská osa. Přísnějším přístupem by bylo použití úhlové rychlosti v pericentru a odvození odtud, ale to nechám jako cvičení pro čtenáře, který o to projeví zájem 🙂
Komentáře
-
+1Nezapomeňte kvad erat demonstrandum !
Odpověď
Hill sphere je pojmenována podle Johna Williama Hilla (1812–1879) a jeho jednoduchá logika vyplývá z přítomnosti tří těles (předpokládejme, že Slunce je největší hmota se Zemí jako sekundární hmotou a satelitem zanedbatelné hmotnosti obíhající kolem Země jako třetí hmotou), kde bude poloměr sféry Hill největší poloměr, ve kterém by satelit mohl obíhat sekundární hmotu (v tomto případě Země). Pokud jeho oběžná dráha přesáhne poloměr Hills, spadne na gravitační vliv prvního tělesa (slunce), a proto již nebude satelitem sekundárního tělesa.
Dalo by se napsat Newtonovy rovnice pomocí myšlenky, že satelit má stejnou úhlovou rychlost jako sekundární objekt.To je to, že úhlová rychlost Země kolem Slunce se rovná úhlové rychlosti satelitu kolem Slunce. Demonstrace o odvození je uvedena v následujícím odkazu, stejně jako v případě omezení Roche: