Chci projít odvozením frekvenčního vyjádření impulzního sledu.
Definice funkce impulsního vlaku s periodou $ T $ a reprezentace frekvence se vzorkovací frekvencí $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $, kterou bych chtěl odvodit, je:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Použití exponenciální Fourierovy řady reprezentace impulsní funkce a použití Fourierovy transformace odtud vede k:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limits_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Abychom se dostali odtamtud ke konečnému výsledku, zdálo by se, že integrace by musí být po dobu 2 $ \ pi $. Kde $ \ Omega = -k \ Omega_s $, bude exponent $ e ^ 0 $ a bude integrován do $ 2 \ pi $ a pro další hodnoty $ \ Omega $ bude celá sinusová vlna, která by se integrovala na nulu. Limity integrace jsou však negativní nekonečno až pozitivní nekonečno. Může to někdo vysvětlit? Děkujeme!
Odpověď
Správně jste přišli na to, že vyskytující se integrály konvergují v konvenčním smyslu. Nejjednodušší (a Výsledkem je rozhodně non-rigorózní) poznámka vztahu Fourierovy transformace.
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Posunutím / vlastnost modulace máme
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Takže každý výraz $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ v Fourierově řadě se transformuje na $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $ a výsledek bude následovat.
Komentáře
- To je perfektní a mnohem jednodušší, než jsem si představil. moc děkuji !!!
- Druhá odpověď byla také správná. Změnil jsem přijatou.
Odpověď
@MattL navrhl pěkný a jednoduchý způsob, jak zobrazit výše uvedený výsledek.
Ale pokud chcete vidět výsledek v normálních analytických rovnicích, které jste zmínili, můžete udělat jako níže.
Řekněme, že S (t) je periodický sled impulzů. Takže S (t) lze zapsat jako
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Nyní, když vezmete Fourierovu řadu S (t), můžete napsat S (t) jako
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Kde $ C_n $ jsou exponenciální koeficienty Fourierovy řady a $ w_o $ je základní frekvence.
Takže z exponenciální Fourierovy řady víme, že
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nyní ve výše uvedeném výrazu nahraďte hodnotu S (t) z prvního výrazu.
Takže $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nyní musíte provést pozorování, pokud pozorujete integrál, je to od -T / 2 do + T / 2. Během této integrální periody si všimněte, že existuje pouze jediný impuls $ \ delta (t) $. Všechny ostatní impulsní funkce v součtu se vyskytují po T / 2 nebo před -T / 2. Celkově tedy lze výše uvedenou rovnici pro $ C_n $ zapsat jako
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Z vlastnosti prosévání můžeme výše uvedené napsat jako
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Nyní vložte tuto hodnotu $ C_n $ do první rovnice S (t)
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Nyní najděte Fourierovu transformaci výše uvedené rovnice
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Takže Fourierova transformace je $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
To by mělo pomoci.