V této odpovědi Jim Clay píše:
… použijte fakt, že $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
Výše uvedený výraz se příliš neliší od $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Snažil jsem se získat pozdější výraz pomocí standardní definice Fourierovy transformace $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ ale vše Nakonec skončím s výrazem tak odlišným od toho, co je zjevně odpovědí.
Tady je moje práce:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Tady jsem uvízl.
Odpověď
Vaše práce je v pořádku, až na problém, že Fourierova transformace $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ neexistuje v obvyklý smysl pro funkci $ f $ a musíme rozšířit představu tak, aby zahrnovala takzvané distribuce nebo impulsy nebo Dirac delty, nebo (jak my inženýři zvyklí dělat, hodně znechucení matematiků) delta funkce. Přečtěte si o podmínkách, které musí být splněny Fourierova transformace $ X (f) $ signálu $ x (t) $, která existuje (v obvyklém smyslu), a uvidíte, že $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ nemá Fourierovu transformaci v obvyklý smysl.
Pokud jde o vaši konkrétní otázku, jakmile pochopíte, že impulsy jsou definovány pouze z hlediska toho, jak se chovají jako integrandové v integrálu, tj. pro $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ za předpokladu, že $ g (x) $ je spojité na $ x_0 $, pak je snazší odvodit Fourierovu transformaci $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ uvažováním o tom, že $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ a tak to musí být $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ je inverzní Fourierova transformace $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Odpovědět
Potom stačí použít tabulku párů Fourierových transformací a zjistit, že $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $ a proměnná substituce ($ f_1 = f + f_0 $ a $ f_2 = f-f_0 $), abyste získali to, co potřebujete.
Komentáře
- Což samozřejmě vyvolává otázku, jak osoba, která zapsal tabulku a přišel s odpovědí, která je v tabulce.
- @DilipSarwate 🙂 Nyní ' žádáte mnohem, mnohem těžší otázku. 🙂
- V mé odpovědi najdete verzi odpovědi na mnohem těžší otázku, která by mohla projít shromážděním na této výměně zásobníku, pokud ne na math.SE!
- @DilipSarwate: you ' už mám moje +1. Díky, pěkná odpověď. Souhlasím, že matematika. SE chlapi by byli zděšeni. To je v pořádku, jsme ' inženýři. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…