Operátor odstřeďování QM lze vyjádřit pomocí gama matic a já se snažím udělat cvičení, kde prokazuji identita, která používá $ \ gamma ^ 5 $ a $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
Při svém prvním pokusu jsem to udělal přímo v reprezentaci Dirac, ale ve cvičení se uvádí, že to nemohu udělat, může někdo poradit? Existuje nějaká identita nebo trik, který by mi to umožnil?
Abych to objasnil, $ \ alpha $ je následující matice, kde nenulovými prvky jsou Pauliho matice:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
kde
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Komentáře
- Co je explicitně $ \ alpha $ a $ {\ bf S} $?
- Alfa je matice, jejíž záznamy nejsou na úvodní diagonále, jsou Pauliho matice, ale nejste si jisti, jak to pomáhá.
- Jak si myslíte, že vám pomůžeme dokázat identitu bez jasné definice všech příslušných symbolů?
- @Hollis Určitě můžete alespoň říct, co má znamenat $ \ alpha $. Není to ' standardní notace, jako jsou gama matice.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ je stejně standardní jako matice $ \ gamma $. Většina standardních knih o fyzice zavádí $ \ mathbf {\ alpha} $ ještě před maticemi $ \ gamma $.
Odpověď
Řídím se konvencemi Wikipedie s následujícími definicemi $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ kde $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Když už jsme to řekli, nyní si všimneme $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Výslovně, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Pak, $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gama ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Tedy $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$