Musím vypočítat počet fotonů v paprsku světla o výkonu $ P $ . Vím, že má konstantní výkon $ P $ v celém rozsahu vlnových délek $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Pro výpočet jsem tedy použil vzorec, který byl uveden v jiné otázce SE:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
je to v pořádku a pomocí toho jsem přišel s $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . O tomto vzorci ale nejsem úplně přesvědčen, protože jej nejsem schopen odvodit z $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Odpověď, kterou dostanu ze vzorce, se zdá být správná, ale potřebuji k tomu důkaz.
Zdroj pro rovnici: Počet fotonů
Komentáře
- Jaký je tedy výraz pro $ dE / d \ nu $, který jste použili k vyhodnocení svého integrálu?
- No, síla je rovnoměrně rozložena po celém intervalu, tak jsem řekl $ E = h \ nu $, tedy $ dE / d \ nu = h $
- Proč ne $ E = 2h \ nu $ ? Existuje mnoho možností Proč si vybrat jednu konkrétní? Rovnice $ E = h \ nu $ souvisí s energií jediného fotonu. Co když nemáte zdroj s jedním fotonem? I když je vaším zdrojem jediný foton. Tyto věci obvykle produkují mnoho tisíc jednofotonových pulzů za sekundu, takže opět se vaše volba pro $ E $ zdá divná.
- To ' není tak zvláštní . ' m počítám celkový počet fotonů emitovaných zdrojem a jsou rovnoměrně rozloženy. Tím mám na mysli stejný výkon pro každou frekvenci v rozsahu. Takže $ E = h \ nu $ by měla být funkce, kterou chci. Pokud ne, opravte mě
Odpověď
Síla je množství energie přenesené za sekundu, takže jste vyhráli “ Nebudu schopen vypočítat počet fotonů. Místo toho budete počítat počet fotonů za sekundu. Beru $ P $ , což znamená celkový výkon paprsku v rámci frekvence rozsah od $ \ nu_1 $ do $ \ nu_2 $ .
Počet fotony za sekundu v malém spektrálním intervalu $ \ delta \ nu $ bude záviset na poměru výkonu paprsku v tomto spektrálním intervalu k energii na foton v spektrální interval.
Síla paprsku se rovná počtu fotonů za sekundu děleno energií na foton. Fotony mají rozsah frekvencí, $ \ nu_1 $ prostřednictvím $ \ nu_2 $ . Problém uvádí, že síla je pro každou frekvenci stejná cy v tomto rozsahu.
Nechť N je celkový počet fotonů za sekundu přenášených paprskem. Pojďme vybrat malý frekvenční rozsah od $ \ nu_i $ do $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . Můžeme předstírat, že všechny fotony v tomto malém rozsahu mají stejnou frekvenci, $ \ nu_i $ . Takže počet fotonů za sekundu v tomto rozsahu je $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Ale $ dP / d \ nu $ je konstanta: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Najít celkový počet fotonů za sekundu v celém rozsahu, musíme sečíst všechny příspěvky ze všech malých rozsahů:
$$ N (celkový počet fotonů / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
přes všechny $ \ nu_i $ v rozsahu. To je jen integrální
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
kde $ N $ je počet fotonů za sekundu v rozmezí od $ \ nu_1 $ do $ \ nu_2 $ .
(Doufám, že jsem v matematice neudělal žádné chyby. S MathJaxem jsem velmi nemotorný.)
Komentáře
- To je v pořádku, ale to, co jsem chtěl vědět, je derivace vzorce. , jak se tam dostanete z $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ ve vzorci, který jsem dal, je počet fotonů za sekundu . $ N $ v $ E = Nh \ nu $ je počet fotonů, ne počet fotonů za sekundu.
- Fajn, řekněme $ P = Nh \ nu $, kde $ N $ je počet fotonů za sekundu. odvozujete vzorec pro $ N $, když $ \ nu $ je interval?
- Ah ano: musíte lépe porozumět tomu, co integrál znamená. Upravím svou odpověď tak, aby to zahrnovala.
- Úpravy to učinily mnohem jasnějším! Ale vadí mi ještě jedna poslední věc …Když zapíšete počet fotonů za sekundu v malém rozsahu frekvencí, jak to zjistíte? Zdá se mi, že ' se nad touto myšlenkou neobejmu. Je to jediná pochybnost, kterou jsem opravdu měl. Od začátku vím, že bych měl integrovat nějakou funkci přes $ \ nu $, ale nemohl jsem se tam dostat. Tento zásadní krok mě opravdu otravuje, zní to velmi přímočaře, ale mám pocit, že mi ' chybí nějaký krok.