Potřebuji pomoc s nalezením ujeté vzdálenosti [uzavřeno]

Pokud je rychlost funkcí času, pak je celková vzdálenost vzhledem k času pouze integrálem. Například ujetá vzdálenost $ D $ za objekt pohybující se rychlostí $ v (t) $ v časovém intervalu $ t_0 $ až $ t_f $ je

$ D = \ int_ {t_0} ^ {t_f} v (t) dt $

Toto je elementární počet. Pokud jste to ještě nevěděli, pak téměř určitě neznáte počet a toto není místo, kde byste se mohli pokusit naučit vás kurz počtu. Ať tak či onak – k vyřešení tohoto problému jednoduše budete potřebovat kalkul.

Komentáře

• Ano … neudělal jsem ' tuto odpověď z nějakého důvodu nevidím. +1. Dobrá poznámka k tomu, že už potřebujete znát počet.

No, vždy se dá položit měřicí páska mezi konečnou pozicí a počáteční pozicí a uvidíte, co to čte 😉

Ale vážně: Myslím, že vše, co víte, je rychlost jako funkce času, že? V takovém případě budete muset udělat integrál. Rychlost je definována jako časová derivace polohy,

$$ \ mathbf {v} (t) = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x} (t)} {\ mathrm {d } t} $$

a pokud invertujete tento vzorec (technicky: vyřešíte diferenciální rovnici), abyste vyřešili změnu polohy, dostanete

$$ \ mathbf {x} (t) = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathbf {v} (t) \ mathrm {d} t $$

Používáte integrální počet. Ujetá vzdálenost je integrálem rychlosti v čase.

Pokud by rychlost byla konstantní, byla by ujetá vzdálenost rychlostí vynásobenou časem.

Pokud se rychlost mění, nevíme, jakou rychlost použít. Řešením je rozdělit čas na malé kousky – řekněme jednu minutu. Jak rychle jste cestovali v první minutě? Vynásobte tuto rychlost o jednu minutu, abyste dostali ujetou vzdálenost v první Pouze minuta. Jak rychle jste cestovali za druhou minutu? Vynásobte to o jednu minutu, abyste získali vzdálenost ujetou za druhou minutu. Sečtěte tyto dva body a získejte celkovou ujetou vzdálenost za první dvě minuty a opakujte pro celou cestu . Nyní máte odhad celkové vzdálenosti.

Pokud se rychlost významně změní během jedné minuty, tato metoda znovu selže. Žádný problém, jednoduše rozdělte čas na intervaly jedné sekundy. Najděte rychlost v každém za sekundu, vynásobte jednou sekundou a sečtěte je všechny. Pokud se rychlost za jednu sekundu výrazně změní, použijte intervaly 0,01 sekundy atd.

Obvykle, když používáte menší a menší časové intervaly a počítáte celkovou vzdálenost, zjistíte, že celková vypočítaná vzdálenost konverguje k určitému číslu. Například můžete najít vzdálenost 10,45 m, pokud počítáte v 1minutových blocích, 10,87m v sekundových blocích, 10,88m v 0,01s blocích a 10,88m v 0,0001s blocích. Pak víte, že skutečná ujetá vzdálenost je 10,88 m.

Tento proces se nazývá „integrál“. Někdy je možné najít integrál přesně, aniž byste rozdělili věci na kusy. Například pokud se rychlost mění konstantní rychlostí, takže rychlost = zrychlení * čas pro nějaké číslo „zrychlení“, ujetá vzdálenost je přesně 1/2 * zrychlení * čas ^ 2. Další informace najdete v jakékoli knize o integrálním počtu. Chcete-li se naučit, jak tyto algoritmy efektivně programovat, podívejte se na techniky numerické integrace.

Záleží na tom, zda chcete najděte konečné posunutí , $$ \ mathbf {D} = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mathbf {v} \: dt, $$ nebo doslova ujetá vzdálenost . Přemýšlejte o rozdílu mezi těmito dvěma způsoby: pokud cestujete z New Yorku do Londýna a zpět, berete v úvahu délku obou částí cesty nebo jen rozdíl mezi počátečním a konečným cílem? Slovem, cestovali jste (zhruba) 11 000 km tam a zpět, nebo (zhruba) 0 km, protože jste skončili tam, kde jste začali? První je vzdálenost, kterou jste urazili, druhá je velikost vašeho posunutí.

Pokud je to celková ujetá vzdálenost, kterou chcete, vzorec je $$ S = \ int_ {t_0} ^ { t_1} v \: dt, $$ kde $ v $ je velikost vašeho vektoru rychlosti rychlosti $ \ mathbf {v} $. Toto se obecně liší od velikosti posunutí $ D = | \ mathbf {D} | $, pokud není pohyb vždy jedním směrem.

Pokud znáte rychlost jako funkci času, jste hotovi. Pokud ale dáte trajektorii, ale ne rychlost, bude to trochu složitější.Vezměme si Pythagorovu větu nebo vzorec vzdálenosti: $$ \ Delta s ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2. $$ Také je to správné ve třech dimenzích pro nekonečně malá posunutí: $$ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2. $$ Proto: $$ \ left (\ frac {ds} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} {dt ^ 2} = v ^ 2. $$ Nebo: $$ S = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac { dy} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dz} {dt} \ right) ^ 2} \: dt. $$ Můžete také najít délky křivek, které nejsou uvedeny z hlediska času, ale nějakým jiným parametrem, dokonce i jednou ze souřadnic (stačí nahradit $ t $ výše uvedeným parametrem, např. pokud máte křivku jako funkci $ x $, pak nahraďte každý $ dt $ $ dx $ a buďte pamatujte na $ dx / dx = 1 $).

V zásadě, jak říkají ostatní, musíte vypočítat integrál rychlosti v čase k určení ujeté vzdálenosti.

Ale nekonstantní rychlost nemusí nutně znamenat, že funkce popisující rychlost je komplikovaná. Pro i Možná budete znát průměrnou rychlost jednoduše analýzou funkce rychlosti.

Řekněme, že rychlost se lineárně zvyšuje s časem: konstantní zrychlení. Poté znáte počáteční rychlost (při A ) a konečnou rychlost (při B ) a můžete snadno vypočítat průměr:

$ $ v_ {avg} = \ frac {v_ {B} – v_ {A}} {t_B – t_A} $$

Můžete použít jednoduchý způsob, jak to zahrnuje kalkul. Nejprve najděte maximální hodnotu s (vzdálenost / posunutí). Použijte diferenciační vzorec: ds / dt. Potom přidejte hodnotu času (t) do rovnice s.

 EXAMPLE:Lets say t=2 then apply the vale to the s equation say : s=20t-5t^2 =20(2)-5(2)^2 =40-20=20 So the max value of s=20 then multiply with 2 and voila you got your total distance(s=40m). 

Doufám, že to pomůže.

Integrace rychlosti je v pořádku, ale obvykle znám odpověď jednodušší.
Záleží na kontextu. Cestovali jste, řekl jste?
odometr je ideální nástroj. Auta, kola, chodci mohou jeden použít.
Mohu použít GPS v automobilech, bykes, chodcích, letadlech a mořských želvách atd., doplněné Mapami Google. Nákladní automobily mají záznam okamžité rychlosti pro účely auditu (myslím), tento způsob je komplikovanější, protože se budete muset integrovat.
A filmová kamera je někdy užitečné zaznamenávat a sledovat proletěný prostor. Používá se ve sportu a tanečnících a ke studiu pohybu těla. Ve fotbalových hrách v televizi nám někdy dávají vzdálenost, kterou každý hráč urazil. Musí znát úhel hřiště s nahrávací kamerou, identifikovat hráče .. a SOUHRN k předchozím datům. V reálném světě se více používá integrace než integrace, protože přijímáme opatření v časových intervalech a shromažďujeme se k předchozím datům. Integrál předpokládá, že máme nepřetržitý tok dat.