Proč je geosynchronní oběžná dráha spíše nadmořská výška než rychlost?

Docela souhlasím, že to není intuitivní. Orbitální mechanika však často není intuitivní, pravděpodobně proto, že orbitální prostředí nezažijeme pravidelně (pokud vůbec).

Předpokládejme, že mluvíme o kruhových drahách pro zbytek mého příspěvku, protože jste začátečník v orbitální mechanice.

Existuje pouze jedna rychlost, kterou může daná kruhová oběžná dráha určité výšky dosáhnout. Pamatujte, že stabilní oběžné dráhy nevyžadují žádnou sílu od motoru, aby i nadále fungovaly tak, jak byly. V zásadě je na kruhové oběžné dráze pohyb padajícího k planetě přesně vyrovnán pohybem vpřed.

Sir Issac Newton na to přišel , a doložil to myšlenkovým experimentem s názvem Newtonova dělová koule .

Všimněte si, že pokud je orbitální rychlost je pro tuto nadmořskou výšku příliš pomalý, dělová koule narazila na planetu.

A pokud je také orbitální rychlost vysoko pro nadmořskou výšku bude oběžná dráha spíše elipsa než kruhová, jinak bude dělová koule vůbec uniknout Zemi!

Nakonec, pokud bude dělová koule spuštěna„ správnou “orbitální rychlostí, aby byla v dané výšce na kruhové oběžné dráze, nespadne ani neodletí , ale zůstane stabilní a bude cestovat po Zemi danou rychlostí.

V různých nadmořských výškách je tato rychlost Zlatovláska odlišná. Pokud je oběžná dráha blíže planetě, je účinek gravitace vyšší, takže obíhající objekt se musí pohybovat rychleji, aby zabránil pádu. Když je obíhající objekt dále, je menší gravitační síla (protože gravitační síla je založena na vzdálenosti), takže objekt se nemusí pohybovat tak rychle, aby působil proti padající síle.

Z článku Wikipedie o geocentrické oběžné dráze víme, že nízkooběžná oběžná dráha může být například nadmořská výška 160 km. V této nadmořské výšce může rychlost udržovat kruhovou oběžnou dráhu je asi 8000 m / s a trvá asi 90 minut.

Co se stane, když se podíváme na mírně vyšší nadmořskou výšku? Rychlost je nižší a cesta, kterou obíhá objekt, se dostane větší (kruh je větší), takže oba tyto faktory způsobují, že oběžná dráha trvá déle. O něco vyšší oběžná dráha může trvat 100 minut místo 90.

U geosynchronní oběžné dráhy musí oběžná dráha trvat 24 hodin namísto 90 minut, protože rotaci Země trvá 24 hodin. K tomu dojde, když se kruh rozšíří do nadmořské výšky asi 35 000 km. Zlatovláska v rychlost v této nadmořské výšce je asi 3000 m / s.

To vše je poněkud zjednodušené, ale široké tahy jsou tam. Jak zdůraznil Organic Marble, můžete se pokusit přinutit plavidlo obíhat v jiné nadmořské výšce za 24 hodin, ale nebyla by to stabilní oběžná dráha, potřebujete motory, které by to udržely.

Komentáře

• Vezměte prosím na vědomí – Rychlost zlatovlásky nezaručuje, že vaše loď zůstane příliš horká, příliš studená ani správná.(Je nám líto, ‚ jsem nikdy neslyšel výraz Goldilocks velocity a potřeboval jsem udělat hříčku).

Jednoduše řečeno, pro kruhovou oběžnou dráhu a dané centrální těleso je oběžná doba pouze funkcí poloměru. Geosynchronní oběžná dráha je jen poloměr oběžné dráhy, při kterém se odpovídající perioda rovná rotační periodě Země.

Dokázali byste letět kolem Země za 24 hodin v jakékoli výšce, ale bez pohonu.

Viz tuto otázku pro matematiku.

Přemýšlejte o tom takto. Kruhová dráha je charakterizována skutečností, že fiktivní odstředivá síla je přesně zrušena (dostředivou) gravitační silou. Pokud by tomu tak nebylo, pokud by gravitace byla silnější, satelit by se začal potápět; kdyby byla gravitace slabší, začala by stoupat. V obou případech by to už nebylo na kruhové oběžné dráze.

Geostacionární dráha se vyznačuje svou úhlovou rychlostí (konkrétně $ 2 \ pi $ radiány za den). Odstředivá síla pro kruhový pohyb při konstantní úhlové rychlosti je úměrná poloměru. Gravitační síla je úměrná inverznímu čtverci poloměr. Takže máte rovnici v (obecné) formě, $ Ar = B / r ^ 2 $, kde $ A $ a $ B $ jsou některá čísla. Tato rovnice není platná pro libovolné $ r $; spíše můžete vypočítat hodnotu $ r $ vyřešením rovnice.

Když připojíte čísla, stane se přesně to. Odstředivá síla pro hmotu $ m $ je dána $ F_c = mv ^ 2 / r = m \ omega ^ 2r $ kde $ \ omega $ je úhlová rychlost. Gravitační síla pro hmotu $ m $ je $ F_g = GMm / r ^ 2 $, kde $ G $ je Newtonova konstanta gravitace a $ M $ je Země mše. Když jsou si tito dva rovni, máte $ m \ omega ^ 2 r = GMm / r ^ 2 $ nebo $ r = \ sqrt [3] {GM / \ omega ^ 2} $. Když připojíte čísla, získáte $ r \ simeq 4,23 \ krát 10 ^ 7 $ metrů, nebo po odečtení poloměru Země výšku asi 36 000 km. Toto je jediná hodnota, pro kterou se obě síly ruší při úhlové rychlosti jedné úplné otáčky za den, takže toto je geostacionární nadmořská výška.

Družice na geosynchronní geostacionární oběžné dráze je jak ve specifické nadmořské výšce (26199 mil vysoké), tak ve specifickém směru (rovníková oběžná dráha směřující od západu na východ) a ve specifické rychlosti (1,91 míle na druhý). Nadmořská výška implikuje rychlost, protože pokud by byla rychlost nesprávná, satelit by nezůstal na oběžné dráze.

Komentáře

• Myslím, že máte na mysli geostacionární; geosynchronní dráhy mohou mít jakýkoli sklon, vzestupný uzel a směr; omezena je pouze jejich nadmořská výška a výstřednost, což má za následek orbitální období přesně stejné jako rotační období Země ‚

\ begin {align} T & = 24 \ times60 ^ 2 & & = 86400 \, s \\ \ omega & = 2 \ pi f & & = {2 \ pi \ over T} \\ F & = {mv ^ 2 \ over r} & & = m \ omega ^ 2r \\ \ proto F & = m \ left ({ 2 \ pi \ over T} \ right) ^ 2r & & = {4 \ pi ^ 2mr \ over T ^ 2} \ \ \ text {And} F & = {GMm \ over r ^ 2} \\ & \ text {Pro zachování výšky :} \ sum f = 0 \\ {4 \ pi ^ 2mr \ over T ^ 2} & = {Gm \ over r ^ 2} \\ \ proto r ^ 3 & = {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ \ proto r & = \ root 3 \ z {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ T & = 86400, G = 6,67 \ times10 ^ {- 11 }, M = 5,97 \ times10 ^ {24} \\ \ proto r & = \ root 3 \ z {86400 ^ 2 \ times6,67 \ times10 ^ {- 11} \ times5.97 \ times10 ^ {24} \ over4 \ pi ^ 2} \\ r & = 42 226 km \; \ text {od středu Země} \\ h & = rR \\ \ proto h & = 42,226km-6370km = 35856km \ end {align} $ M $ je hmotnost Země. $ R $ je poloměr Země.

Toto je můj pokus o získání hodnoty. Je trochu vypnutý, ale to může být způsobeno přesností použitých čísel a vzhledem k tomu, že oběžná dráha je dokonale kruhová.

Aby mohla správně obíhat, musí mít v zásadě stejnou úhlovou rychlost jako Země ( otáčet stejnou rychlostí), což znamená, že má stejnou frekvenci nebo časovou periodu otáčení jako Země.

Váha objektu obíhajícího kolem potom musí být rovna dostředivé síle, kterou na něj působí v důsledku kruhový pohyb. Jak řekli jiní, pokud si tyto dvě síly nejsou stejné, pak buď narazí na Zemi, nebo odletí.

Od tohoto bodu je pouze matematika pro výpočet skutečné hodnoty, nezapomeňte, že tato hodnota r udává poloměr oběžné dráhy, který je vzdálen od středu Země, takže musíte odečíst R, abyste získali výška nad zemí.

Z toho byste mohli vypočítat rychlost, kterou se satelit pohybuje, ale v této oblasti se obecně používá více úhlová rychlost. Většina lidí by ani nevěděla, co dělat s touto rychlostí, protože to moc neznamená a není užitečné.

Komentáře

• děkuji ! Matematika je v jiných odpovědích oceňována a podhodnocena.

Co je tak zvláštního na magickém čísle 22 000, které umožňuje provádět geosynchronní oběžnou dráhu v této nadmořské výšce, ale ne v libovolné nadmořské výšce?

Zvedněte objekt na orbitální nadmořskou výšku 1 metr. Nechte to jít. Co se stane?

Splat

Odstředivá síla geosynchronní oběžné dráhy 1 metr nemůže podporovat předmět proti gravitaci.

Pak předpokládejme, že Pluto je na geosynchronní oběžné dráze … to znamená, že trpasličí planeta se musí točit kolem Země za 24 hodin. Rychlost, kterou by potřebovala to je přibližně rychlost světla. Co se stane?

WHOOOSH

Pluto zmizí ve velkém černém jámě, protože zemská gravitace nemůže obsahovat objekt na geosynchronní oběžné dráze 7,5 miliard kilometrů.

Někde mezi těmito dvěma extrémy je nadmořská výška, kde jsou gravitace a odstředivá síla 24hodinové oběžné dráhy stejné a navzájem se vyrovnávají.

Tato – speciální – nadmořská výška je 22 000 mil.

Posuňte se výše a odstředivá síla 24hodinové oběžné dráhy je příliš silná … překoná gravitaci a vyústí v eliptickou oběžnou dráhu nebo způsobí, že se objekt odpoutá od Země dohromady. Posuňte se níže a odstředivá síla je příliš slabá na to, aby vyrovnala gravitaci, a objekt začne ztrácet nadmořskou výšku, což opět povede k excentrické oběžné dráze nebo dokonce k pádu do atmosféry.

Komentáře

• “ Předpokládejme, že Pluto je na geosynchronní oběžné dráze … to znamená, že trpasličí planeta se musí točit kolem Země za 24 hodin. Rychlost, kterou by k tomu potřebovala, je přibližně rychlost světla. “ Co tím myslíš? Pluto na své současné oběžné dráze zjevně není ‚ t obíhající kolem Země, takže otázka je diskutabilní. Pro objekt na geostacionární nebo geosynchronní oběžné dráze kolem Země není velikost objektu relevantní: skvrna prachu nebo obrovská skála nezáleží na tom, zda je oběžná dráha stejná.
• Myslel jsem přesně to, co jsem napsal – “ Předpokládejme, že … “ – ve smyslu “ Proveďte myšlenkový experiment, že Pluto je na geosynchronní oběžné dráze kolem Země „. Samozřejmě to není to, co se děje ve skutečném životě, ale kvůli prozkoumání původního předpokladu ‚, že jakákoli oběžná dráha může být geosynchronní, Dokáže se na chvíli pohrávat s myšlenkou – že Pluto je na geosynchronní oběžné dráze – a zjistit, jaké to má důsledky. Jsou to a) v této vzdálenosti má gravitace Země téměř zanedbatelný vliv na Pluto ab) by se Pluto muselo pohybovat rychlostí světla. Tj.: Předpoklad OP ‚ je chybný.
• Aby bylo jasné, existuje zde důležitý, ale nevyslovený předpoklad s myšlenkovým experimentem Pluto, že Pluto ‚ s orbitální vzdálenost od Země byla původně nastavena na nějaké číslo. Jelikož Země i Pluto obíhají kolem Slunce (a ve velmi odlišných oběžných dobách, navíc je oběžná dráha Pluta ‚ eliptická), vzdálenost mezi Zemí a Plutem se výrazně liší. Předpokládám, že @MichaelKarnerfors právě vybral průměrnou vzdálenost Země-Pluto nebo něco takového pro výpočet rychlosti, kterou by Pluto potřebovalo pro 24hodinovou oběžnou dráhu Země.

(odpověď bez matematiky)

Padáte kolem Země v jakékoli nadmořské výšce při jakékoli rychlosti. I když hodíte míč, padá kolem Země. Nemá dostatečnou rychlost, aby na ni nezasáhla. Sladké místo je tedy pro oběžnou dráhu, kterou cestujete dostatečně daleko, aby se zakřivení Země rovnalo tomu, jak daleko jste spadli. Čím blíže jste, tím větší gravitace, tím menší vzdálenost musíte spadnout, než zasáhnete, tím rychleji musíte jít, aby se Země zakřivila od / z vašeho pádu. Čím vyšší jste, tím pomaleji můžete postupovat, když vám Země zakřivuje cestu – menší gravitace. Tímto způsobem nemusíte přidávat žádnou energii – prostě padáte. V určité výšce se vaše rychlost přesně shoduje s rotací Země. To je skvělé, protože na ni můžeme nasměrovat naši satelitní anténu.Pokud chcete být geosynchronní v jakékoli jiné nadmořské výšce, můžete být – ale k tomu budete potřebovat palivo / energii a hodně z toho a nebudete beztíže. Jste bez tíže, protože padáte. Kdyby tam byl věž postavená tak vysoko, stála bys na ní s gravitací, stejně jako tady dole. Trochu menší gravitace – ale stále gravitace. Proto pád. Jsi beztížný, když padneš i sem. Jsi příliš znepokojený o tom, abychom si všimli přistání.

Neexistuje žádné magické číslo 22 000.

Pokud byste, jak říkáte, mohli dosáhnout geostacionární oběžné dráhy v jakékoli nadmořské výšce, pak byste mohli jít na jakékoli místo na zemském rovníku, držet objekt v délce paže, uvolnit jej a očekávat aby zůstal na místě, v podstatě se vznášel ve vzduchu. Koneckonců, vy a objekt cestujete asi 1000 mil za hodinu kolem osy Země. Všichni víme, že by objekt jednoduše spadl na zem.

Také víme, že objekty na oběžné dráze Země by měly cestovat asi 17 000 mil za hodinu, aby zůstal na oběžné dráze, přičemž dokončení jedné oběžné dráhy trvalo asi 90 minut. Víme také, že Měsíc je na oběžné dráze kolem Země (přesněji řečeno barycentrum Země-Měsíc), je asi 240 000 mil daleko a dokončí jednu oběžnou dráhu asi za 27 dní a bude cestovat rychlostí asi 2 500 mil za hodinu. Víme také, že gravitace se řídí zákonem inverzního čtverce a klesá úměrně s druhou mocninou vzdálenosti.

Co nám to říká o oběžných drahách obecně? Zaprvé, čím blíže objekt k tělu obíhá, tím více se musí stavět proti gravitaci, což může dělat pouze při rychlejší cestě, která vyžaduje větší zrychlení, aby zůstala na uzavřené zakřivené dráze, kterou nazýváme Vzhledem k dvěma příkladům nízké oběžné dráhy Země a Měsíce musí existovat nekonečný rozsah orbitálních vzdáleností, z nichž každá má přidruženou rychlost a periodu. Musí proto existovat oběžná dráha, kde se perioda shoduje s rotací Země, a bude mít svou vlastní specifickou vzdálenost.

Vzhledem k výše uvedenému, když známe gravitační zrychlení Země (~ 9,8 m / s / s na povrchu), poloměr Země (bod, ve kterém má gravitace tuto hodnotu), inverzní čtverec zákon a vzorec pro kruhový pohyb vztahující se k poloměru a periodě ke zrychlení, můžeme vypočítat vzdálenost, ve které bude mít oběžná dráha požadovanou periodu. Ukazuje se, že k orbitální vzdálenosti, ve které se perioda shoduje s rotací Země, dochází 22 000 mil daleko.