Proč je gravitace Země ' na pólech silnější?

Jde o to, že pokud se přiblížíme Zemi pomocí zploštělého elipsoidu, pak bude povrch Země ekvipotenciální plocha , $ ^ 1 $ viz např. tento příspěvek Phys.SE.

Nyní, protože polární poloměr je menší než rovníkový poloměr, musí být hustota ekvipotenciálních ploch na pólech větší než na rovníku.

Nebo ekvivalentně musí být síla pole $ ^ 2 $ $ g $ na pólech větší než na rovníku.

–

$ ^ 1 $ Všimněte si, že potenciál zde odkazuje na kombinovaný účinek gravitačních a odstředivých sil. Pokud bychom nalili trochu vody na ekvipotenciální povrch, nebyl by preferovaný směr proudění.

$ ^ 2 $ Podobně síla pole, známá jako malá $ g $ , odkazuje na kombinovaný účinek gravitačních a odstředivých sil, i když se $ g $ často (nedbale a poněkud zavádějící) označuje jako gravitační konstanta na povrchu Země.

Komentáře

• Funguje argument “ jste blíže středu hmoty „?
• Hezké. Ačkoli odpověď nikdy nepoužívá výraz “ odstředivá síla, „, který ‚ implicitně odpovídá argument, protože ekvipotenciál je ekvipotenciál v rotujícím rámci.
• @Floris – Argument, že “ jste blíže středu hmoty “ kinda-sort funguje, kde kinda-sorta znamená v tomto případě asi 3/2 (na rozdíl od jednoho). Asi 2/3 redukce na rovníku lze připsat tomu, že rovník je o 21 km dále od středu Země. Druhá 1/3 je přímo kvůli odstředivé síle (a samozřejmě, že první 2/3 je nepřímo kvůli odstředivé síle).
• @DavidHammen – myslím, že v mých knihách “ gravitace “ je pouze přitažlivost mezi dvěma masivními objekty; síla prožívaná hmotou na povrchu Země je modulována jak vzdáleností, tak rotací, ale pouze ta první je “ gravitace “ v moje knihy. Dále, protože OP uvedl, že rozuměl rotační části, navrhoval jsem se zaměřit na nejjednodušší způsob, jak uvést druhou část.
• Myslím, že Luboš už dávno napsal odpověď, která poněkud vysvětluje, proč gravitační kvůli rovníkové boule je jiná, než by si člověk naivně myslel. ‚ Uvidím, jestli dokáži tuto odpověď vykopat.

Spousta míst uvádí, že gravitace Země je na pólech silnější než rovník, a to ze dvou důvodů:

1. Odstředivá síla ruší gravitaci minimálně, a to spíše na rovníku než na pólech.
2. Póly jsou díky rovníkové bouli blíže středu, a mají tedy silnější gravitační pole.

Verze TL; DR: Existují tři důvody. Podle velikosti,

1. Póly jsou blíže do středu Země v důsledku rovníkové boule. To posiluje gravitaci na pólech a oslabí ji na rovníku.

2. Rovníková boule upravuje způsob gravitace Země. Toto oslabuje gravitaci na pólech a posiluje ji na rovníku.

3. Země se otáčí, takže pozorovatel vázaný na Zemi vidí odstředivou sílu. Th je nemá žádný účinek na póly a oslabuje gravitaci na rovníku.

Podívejme se, jak jsou dvě vysvětlení v otázce srovnávána s pozorováním.Následující tabulka porovnává to, co sférický gravitační model předpovídá menší odstředivé zrychlení pro gravitační zrychlení na hladině moře u rovníku ($ g _ {\ text {eq}} $) a severního pólu ($ g _ {\ text {p}} $) versus hodnoty vypočítané pomocí osvědčeného gravitačního vzorce Somigliana $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Celkem} & \ text {Somigliana} & \ text {Chyba} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0,03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0,09995 & 0,05186 & \ phantom {-} 0,04809 \ end {matrix} $

Tento jednoduchý model funguje v kvalitativním smyslu. Ukazuje, že gravitace na severním pólu je vyšší než na rovníku. Kvantitativně tento jednoduchý model není příliš dobrý. Značně zveličuje rozdíl mezi gravitací u severního pólu oproti rovníku, téměř dvojnásobně.

Problém je v tom, že tento jednoduchý model nezohledňuje gravitační vliv rovníkové boule. Jednoduchý způsob, jak přemýšlet o této bouli, je to, že přidává kladnou hmotnost na rovníku, ale přidává zápornou hmotnost na pólech, pro nulovou čistou změnu hmotnosti. Záporná hmotnost na pólu sníží gravitaci v blízkosti pólu, zatímco kladná hmotnost na rovníku zvýší rovníkovou gravitaci. To je přesně to, co nařídil lékař.

Matematicky to, co toto pohybování mas dělá, je vytvoření kvadrupólového momentu v gravitačním poli Země. Aniž bychom zacházeli do podrobností sférických harmonických, přidává se termín rovný $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ gravitační síla, kde $ \ lambda $ je geocentrická zeměpisná šířka a $ J_2 $ je druhá dynamická forma Země. Přidáním tohoto čtyřpólového výrazu do výše uvedené tabulky se získá následující:

$ \ begin {matrix} \ text {Quantity} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Celkem} & \ text {Somigliana} & \ text {Chyba} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0,01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0 00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & -0,04817 & 0,05179 & 0,05186 & -0,00007 \ end {matrix} $

Tento jednoduchý doplněk kvadrupólu nyní vytváří velmi pěknou shodu.

Čísla, která jsem použil výše:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, gravitační parametr Země bez atmosférického příspěvku.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, rovníkový poloměr Země (střední hodnota přílivu).

• $ 1 / f = 298,25231 $, zploštění Země (střední příliv) hodnota).

• $ \ omega = 7.292115855 \ krát 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, rotace Země rychlost.

• $ J_2 = 0,0010826359 $, druhý dynamický tvarový faktor Země.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9,7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitace na hladině moře na rovníku.

• $ \ kappa = 0,00193185138639 $, což odráží pozorovaný rozdíl mezi gravitací na rovníku a póly.

• $ e ^ 2 = 0,00669437999013 $, čtverec excentricity postavy Země.

Tyto hodnoty pocházejí většinou z Groten, „Základní parametry a současné (2004) nejlepší odhady parametrů společného významu pro astronomii, geodézii a geodynamiku. “ Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , se standardním gravitačním parametrem upraveným tak, aby se vyloučila hmotnost atmosféry. Atmosféra Země má gravitační účinek na Měsíc a na satelity, ale ne tolik na lidi stojící na povrchu Země.

Komentáře

• Re “ Póly jsou vzhledem ke středu Země blíže do rovníkové boule. To posiluje gravitaci na pólech a oslabuje ji na rovníku. “ : To by není pravda, pokud by Země měla rovnoměrné rozložení hmoty .
• @PeterMortensen – to je nesprávné. I kdyby Země měla rovnoměrnou hustotu, gravitační zrychlení na pólu by bylo větší než na rovníku o faktor přibližně $ 1 + \ frac 1 5 f $, kde $ f $ je faktor zploštění. Viz Rozložení gravitační síly na nerotující zploštělý sféroid .
• It ‚ Je opravdu užitečné mít toto vše na jednom místě; Nikdy jsem si neuvědomil závažnost situace, dokud jsem ji neprošel najednou.

Tady „jednoduchý argument, který nevyžaduje žádné znalosti fantazie, jako jsou ekvipotenciály nebo rotující referenční rámce. Představte si, že bychom mohli postupně točit Zemi rychleji a rychleji. Nakonec by to odletělo. V okamžiku, kdy se začalo rozpadat, by se stalo to, že části Země na rovníku budou obíhat rychlostí. Když jste na oběžné dráze, zažíváte zjevnou beztíže, stejně jako astronauti na vesmírné stanici.

Takže v bodě na rovníku je zřejmé gravitační zrychlení $ g $ (tj. To, co měříte) v laboratoři fixované na zemský povrch) klesá na nulu, když se Země točí dostatečně rychle. Interpolací očekáváme, že účinkem skutečného rotace by mělo být snížení $ g $ na rovníku, relativně k hodnotě, kterou by měl, kdyby se Země neotočila.

Všimněte si, že tento argument automaticky bere v úvahu zkreslení Země od sférickosti. Zploštělý tvar je jen částí interpolace mezi sférickostí a rozpadem.

U pólů je to jiné. Bez ohledu na to, jak rychle otočíte Zemi, část Země na severním pólu nikdy nebude na oběžné dráze. Hodnota $ g $ se změní kvůli změně tvaru Země, ale tento efekt musí být relativně slabý, protože to nikdy nemůže vést k rozpadu.

Rozdíl ve zrychlení volného pádu mezi póly a rovníkem má dva přispívající faktory. Budu o nich diskutovat jeden po druhém.

U pólů měřené gravitační zrychlení je 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Na rovníku je naměřené gravitační zrychlení 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Vzhledem k rovníkovému poloměru Země a rychlosti rotace Země můžete vypočítat, jaké dostředivé zrychlení je zapotřebí k tomu, aby bylo možné otáčet se Zemí, když nacházíte se na rovníku. To vychází z 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Toto požadované dostředivé zrychlení (na rovníku) jde na úkor skutečného gravitačního zrychlení na rovníku.

Můžeme tedy rekonstruovat, jaké by bylo rovníkové gravitační zrychlení na nebeském tělese se stejnou velikostí a hustotou a rovníkovou boulí jako Země, ale neotáčející se.

Skutečné gravitační zrychlení: 9,7805 + 0,0339 = 9,8144 $ m / s ^ 2 $

Takže stále existuje rozdíl 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Tento zbývající rozdíl je způsoben zploštěním Země: na rovníku jste dále od středu gravitační přitažlivosti Země než u pólů.

Jde o to, pokud byly zohledněny všechny účinky. Matematika by shrnula účinek větší hmoty pod nohama, který je stále menší než účinek vzdálenosti od středu hmoty.

Jiný pohled je. Na rovníku jsou ve vaší blízkosti boule. Ale ze všech ostatních stran Země je boule daleko od vás. Srovnejte s pólem, který má všechny boule stejně daleko od vás, což zohledňuje rozdíl