Dnes jsem narazil na nové téma s názvem Mathematical Expectation. Kniha, kterou sleduji, říká, že očekávání je aritmetický průměr náhodné proměnné pocházející z jakéhokoli rozdělení pravděpodobnosti. Definuje však očekávání jako součet součinu některých dat a pravděpodobnost toho. Jak mohou být tyto dva (průměr a očekávání) stejné? Jak může být součet časů pravděpodobnosti dat průměrem celé distribuce?
Odpověď
Neformální rozdělení pravděpodobnosti neformálně definuje relativní frekvence výsledků náhodné proměnné – očekávanou hodnotu lze považovat za vážený průměr těchto výsledků (vážený relativní frekvencí). Podobně lze očekávanou hodnotu považovat za aritmetický průměr množiny čísel generovaných v přesném poměru k jejich pravděpodobnosti výskytu (v případě spojité náhodné proměnné to není přesně pravda, protože konkrétní hodnoty mají pravděpodobnost $ 0 $).
Spojení mezi očekávanou hodnotou a aritmetickým průměrem je nejjasnější u diskrétní náhodné proměnné, kde je očekávaná hodnota
$$ E ( X) = \ sum_ {S} x P (X = x) $$
kde $ S $ je ukázkový prostor. Předpokládejme například, že máte diskrétní náhodnou proměnnou $ X $ takovou, že:
$$ X = \ begin {cases} 1 & \ mbox {s pravděpodobností} 1/8 \\ 2 & \ mbox {s pravděpodobností} 3/8 \\ 3 & \ mbox {s pravděpodobností} 1/2 \ end {cases} $$
To znamená, že funkce pravděpodobnostní hmotnosti je $ P (X = 1) = 1/8 $, $ P (X = 2) = 3/8 $ a $ P (X = 3) = 1/2 $. vzorec výše, očekávaná hodnota je
$$ E (X) = 1 \ cdot (1/8) + 2 \ cdot (3/8) + 3 \ cd ot (1/2) = 2,375 $$
Nyní zvažte čísla generovaná s frekvencemi přesně úměrnými funkci pravděpodobnostní hmotnosti – například množina čísel $ \ {1,1,2,2,2 , 2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3 \} $ – dva $ 1 $ s, šest $ 2 $ s a osm $ 3 $ s. Nyní vezměte aritmetický průměr těchto čísel:
$$ \ frac {1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3} {16} = 2.375 $$
a můžete vidět, že se přesně rovná očekávané hodnotě.
Komentáře
- Nebylo by to ' lépe ilustrováno použitím jednodušší sady {1,2,2,2,3,3,3,3}? Výraz zobrazující aritmetiku průměr této sady je totožný s výrazem vyjadřujícím očekávanou hodnotu této proměnné (pokud převádíte vážené produkty na jednoduché součty).
- Re: " výraz zobrazující aritmetický průměr dané množiny je totožný s výrazem vyjadřujícím očekávanou hodnotu této proměnné (pokud převádíte vážené produkty na jednoduché součty) " – Ano @Dancrumb, to byl celý bod 🙂
Odpověď
Očekávání je průměrná hodnota nebo průměr náhodné proměnné, nikoli pravděpodobnost distribuce. Jako takový je to pro diskrétnost Náhodné proměnné vážený průměr hodnot, které náhodná proměnná přebírá, kde je vážení podle relativní četnosti výskytu těchto jednotlivých hodnot. Pro absolutně spojitou náhodnou proměnnou je to integrál hodnot x vynásobený hustotou pravděpodobnosti. Pozorovaná data lze zobrazit jako hodnoty souboru nezávislých identicky distribuovaných náhodných proměnných. Průměr vzorku (nebo očekávání vzorku) je definován jako očekávání dat s ohledem na empirické rozdělení pozorovaných dat. Díky tomu je to jednoduše aritmetický průměr dat.
Komentáře
- +1. Dobrý úlovek: " Očekávání je průměrná hodnota nebo průměr náhodné proměnné, nikoli rozdělení pravděpodobnosti ". Toto drobné zneužití terminologie jsem si ' nevšiml.
Odpovědět
Pojďme věnovat zvláštní pozornost definicím:
Průměr je definován jako součet kolekce čísel dělený počtem čísel v kolekci. Výpočet by byl „pro i v 1 až n, (součet x sub i) děleno n. „
Očekávaná hodnota (EV) je dlouhodobá průměrná hodnota opakování experimentu, který představuje. Výpočet by byl“ pro i v 1 až n, součet události x sub i krát její pravděpodobnost (a součet všech p sub i musí = 1). “
V případě férového zemřít je snadné vidět, že průměr a EV jsou stejné. Průměr – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 – 3,5 a EV by byly:
prob xp * x
0,167 1 0,17
0,167 2 0,33
0,167 3 0,50
0,167 4 0,67
0,167 5 0,83
0,167 6 1,00
EV = součet (p * x) = 3,50
Ale co kdyby kostka nebyla „férová“. Snadný způsob, jak vyrobit nefér kostku, by bylo vrtat ah ole v rohu na průsečíku 4, 5 a 6 tváří.Dále řekněme, že pravděpodobnost házení 4, 5 nebo 6 na naší nové a vylepšené křivé matrici je nyní 0,2 a pravděpodobnost házení 1, 2 nebo 3 je nyní 0,133. Je to stejné zemřít se 6 tvářemi, jedním číslem na každé tváři a průměr pro tuto kostku je stále 3,5.Nicméně po mnohonásobném válcování této kostky je naše EV nyní 3,8, protože pravděpodobnosti událostí již nejsou stejné pro všechny události.
prob xp * x
0,133 1 0,13
0,133 2 0,27
0,133 3 0,40
0,200 4 0,80
0,200 5 1,00
0,200 6 1,20
EV = součet (p * x) = 3,80
Opět platí, že opatrně a vraťte se k definici, než dojde k závěru, že jedna věc bude vždy „stejná“ jako jiná. Podívejte se, jak je nastavena normální kostka, vyvrtejte otvor v dalších 7 rozích a podívejte se, jak se EV mění – bavte se.
Bob_T
Odpověď
Jediný rozdíl mezi „střední“ a „očekávanou hodnotou“ je v tom, že střední hodnota se používá hlavně pro distribuci frekvence a očekávání se používá pro rozdělení pravděpodobnosti. Při distribuci kmitočtů se vzorový prostor skládá z proměnných a jejich frekvencí výskytu. Při rozdělení pravděpodobnosti se vzorový prostor skládá z náhodných proměnných a jejich pravděpodobností. Nyní víme, že celková pravděpodobnost všech proměnných ve vzorovém prostoru musí být = 1. Zde spočívá základní rozdíl. Pojem jmenovatele pro očekávání je vždy = 1. (tj. součet f (xi) = 1) Žádná taková omezení součtu frekvence (což je v zásadě celkový počet záznamů).