Proč je síla vektor?

Uhm … začínáte u objektu na odpočívejte a všimněte si, že pokud na něj zatlačíte různými směry, pohybuje se různými směry? Pak si všimněte, že můžete uspořádat více než dvě (tři pro rovinné geometrie a čtyři pro plné 3D geometrie) nelineární síly, které se navzájem zruší (doufejme, že jste ve své třídě provedli cvičení s tabulkou síly a udělali jste to sami).

Demonstrace na objektu, který je již v pohybu, je o něco méně zřejmý, ale zde můžete vzít nápady a zobecnit je.

V jistém smyslu je to tak zřejmé, že je těžké odpovědět protože téměř cokoli co děláte se silami využívá jejich vektorovou povahu.

Komentáře

• Je to zřejmé pouze lidem kteří jsou zvyklí na vektory. Po nějaké době si na to zvyknete, zapomenete, že bylo matoucí se učit. Zapomněli jste, co jste tehdy dělali a nevěděli ‚. je těžké začátečníkům dobře vysvětlit věci. EG safeshere ‚ s komentář je správný. Ale někdo, kdo si klade otázku, proč je síla vektorem, se také bude divit, proč je hybnost. Pamatuji si, bei Zmateno, že kinetická energie má zřejmý směr, ale není to ‚ t vektor.
• Kinetická energie nemá směr. Hybnost objektu má směr. Objekt 500 g pohybující se rychlostí 2 m / s ve kladném směru x nemá stejnou hybnost jako objekt 500 g pohybující se rychlostí 2 m / s ve směru záporné x, ale oba mají stejnou kinetickou energii.
• @BillN mmesser314 si je toho vědom, ale je to dost běžné nedorozumění mezi úvodními studenty (zejména těmi promyšlenějšími). Kritizuje představu, že “ vzhled má směr “ je dostatečně dobrý nástroj, který studentům umožní rozlišit vektory od vektorů. Nesouhlasím, protože ‚ se raději zabývám otázkou kinetické energie, než se pokusím dát úvodním studentům abstraktnější definici ‚ vektoru ‚, ale je to bod, který stojí za zvážení.
• @dmckee Ano, mávl jsem rukou skrz Biot-Savart dnes a snažil se vysvětlit, proč ten současný, $ I $, isn ‚ ta vektor, ale $ d \ vec {\ ell} $ ano. Při mumlání jsem se málem dusil. 🙂 To ‚ pro mě stále není uspokojivý vektor, ale držím se za nos a jdu dál.
• @BillN Myslím, že váš příklad KE je dobrý příklad toho, proč to může být složité pár nováčků ve fyzice. Považuji za ‚ nutně zřejmé, že KE chybí směrová složka, dokud ‚ neprovedete několik experimentů, které ukazují, že existuje skalární “ energie “ stojí za pozornost.

Vektory jsou věci, které se přidávají jako malé šipky. Šipky přidávají tip na ocas.

Počet hornin není vektor. 2 kameny + 2 kameny = 4 kameny.

Výtlak je vektor. Pokud se posunete o 2 stopy doleva a 2 stopy znovu doleva, posunuli jste se o 4 stopy. Dvě šipky dlouhé 2 stopy směřující vlevo a přidané špičkou k ocasu jsou ekvivalentní jedné šipce dlouhé 4 stopy směřující doleva.

Pokud se posunete o 2 stopy doleva a 2 stopy doprava, přesunuli jste se zpět na začátek. To je stejné a vůbec se nepohybuje. Tímto způsobem nemůžete přidávat kameny.

Síla se přidává takto. Dvě malé síly vlevo jsou ekvivalentní velké síle vlevo. Stejné síly vlevo a vpravo jsou ekvivalentní žádné síle. To je proč je síla vektor.

Upravit – Komentáře upozorňují na bod, kterým jsem se zabýval. Při zavádění vektorů se tento bod obvykle nezvýší.

Matematici definují vektor jako věci, které se chovají jako malé šipky, když se sčítají a násobí skaláry. Fyzici přidávají další požadavek. Při transformaci souřadnicového systému musí být vektory neměnné.

Malá šipka existuje nezávisle na tom, jak se na ni díváte. Když se otočíte, malá šipka se nezmění, takže nyní směřuje dopředu. Ekvivalentně se malé šipky nezmění, pokud šipku otočíte tak, aby směřovala dopředu.

Je to proto, že prostor je homogenní a izotropní. V prostoru nejsou žádná speciální místa nebo směry, které by vás změnily, nebo šipka, pokud by byly přesunuty na nové místo nebo orientaci. (Pokud se vzdálíte od gravitace Země, je to jiné. Pokud na tom záleží, musíte přemístit také Zemi.)

Naproti tomu skalár je jedno číslo, které se při transformacích souřadnicových systémů nemění. Počet hornin je skalární.

Souřadnice, které popisují změnu vektoru při změně souřadného systému. Levá složka vektoru není skalární.

Existuje 1-D matematický vektorový prostor rovnoběžný s levou souřadnicí vektoru. Pokud otočíte souřadný systém, může to být rovnoběžné s tím, co se stalo přední komponentou. Fyzik by neřekl, že jde o vektorový prostor.

Komentáře

• To, co jste vysvětlili, odpovídá také podepsanému skaláru. Měli jste zahrnout “ vpřed “ nebo “ nahoru “ pohyb, aby bylo jasnější.
• @RalfKleberhoff – pravda. Získáte dobrý bod.
• @RalfKleberhoff Jak není podepsaný skalární vektor v jediné dimenzi? Opravdu. To mě vždycky zmátlo. Zdá se, že s vektory má mnohem, mnohem více společného než skaláry.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – dobrá otázka. Aktualizoval jsem svou odpověď, abych ji vyřešil.

Menší nitpick: force je není vektor. Stejně jako hybnost je to covector nebo one-form a kovariant. Můžete to vidět několika způsoby:

• z principu virtuální práce: síla je lineární funkce mapující nekonečně malá posunutí $ \ delta \ mathbf {x} $ (vektor) na nekonečně malé změny v energie $ F \ delta \ mathbf {x} $ (skalární) a tedy covector podle definice.
• Newtonův druhý zákon $ F = ma $: zrychlení je vektor, který je „indexově snížen“ hmotou, aby poskytl sílu.
• konzervativní síly vznikají z diferenciálu potenciální energie, $ F = -dV $ a rozdíl funkce je v jedné formě (kovariantní).

Rozdíl mezi vektorem a covectorem nemusí mít smysl, pokud „teprve začínám poznávat fyziku a pro praktické výpočty prozatím může stačit vědomí, že síly mohou být„ přidány špičkou k patě “jako vektory. Je však něco, co byste měli začít věnovat pozornost, jak vaše porozumění dozrává: jako je dimenzionální analýza, pečlivé sledování toho, jaké jsou vaše fyzické objekty, je matematicky užitečné jak pro hlubší porozumění, tak pro chytání chyb.

Komentáře

• Myslím, že je to užitečný komentář, protože ilustruje, že “ toto je nejpřirozenější způsob uvažování o síle “ není ve skutečnosti nutně pravda. Kryvektory jsou zcela přirozené věci a můžete si představit učební plán, který s nimi pracoval stejně jako s vektory. Je tradicí našeho vzdělávacího systému, že to neuděláme (alespoň výslovně).
• @FrancisDavey Raději bych řekl, že tradice spočívá v tom, že rozlišujeme vektory a konvektory až příliš pozdě , a prostě je nazvat všechny vektory. (Rozlišování jsem se ‚ nenaučil výslovně, dokud jsem nebral obecnou relativitu, případně kvantovou mechaniku s podprsenkami a kety. Mělo by to byly explicitní v prvním kurzu lineární algebry, kde se objevily jako vektory sloupců a vektory řádků, ale nebylo to ‚ t explicitní.)
• Nestojí za downvote, ale rozhodně to nestojí za hlasování. ‚ nejsem nadšený tímto “ tím, jak věci transformují “ definici toho, co představuje “ vektor „. Matematická definice vektoru je mnohem jednodušší: Vektory jsou členy vektorového prostoru – prostoru vybaveného dvěma operacemi, které se řídí osmi jednoduchými axiomy. Podle této definice jsou síly (v newtonovské mechanice) vektory.
• @DavidHammen A “ vektor “ může znamenat buď 1) tečný vektor , tj. prvek tangensového svazku (nebo obecněji (0,1) -tenzory tenzorové algebry) nebo 2) prvek nějakého obecného vektorového prostoru. Obvykle ve fyzice, když říkáme “ vektor “ máme na mysli “ (tečnu) vektor „: ‚ bychom nevolali skaláry, funkce, 2-tenzory nebo dokonce covektory, “ vectors “ i když jsou technicky všechny prvky vektorového prostoru. Všimněte si, že podle definice # 2 je i OP ‚ s “ vynutit vektor nebo skalární “ je nesmyslná otázka!
• Všechny tyto věci jsou skutečné vektory. ‚ Obvykle je neozýváme vektory, protože to ‚ obvykle není užitečná funkce. Pokud ‚ používáte jinou definici “ vektoru „, mělo by to být vysvětleno .

Zrychlení se transformuje jako 3-vektor pod rotacemi (skupina O (3)).

Zrychlení se transformuje jako 4-vektor pod rotací a zesílením (Lorentzova skupina O (3,1)).

Zrychlení může být součástí větší struktury (např .: tenzor indexu 2 ) pod větší skupinou transformací, včetně rotací, zesílení, přetvoření a překladů.

Mým názorem je, že když řeknete, že zrychlení (nebo síla) je 3-vektor (nebo něco jiného), musíte určit, pro kterou skupinu transformací. Například „zrychlení se transformuje jako 3-vektor pod rotací“, a proto tomu říkáme 3-vektor.

Komentáře

• Tato otázka se zjevně týkala newtonovské fyziky, které autor plně nerozumí ‚. ‚ Využíváte ustanovení z mnohem složitějších oblastí fyziky (které autor možná ani nepotřebuje). Je to ‚ ekvivalent někoho, kdo se ptá na Bernoulli ‚ s zákonem, a vy žádáte, aby určil, zda je kapalina viskózní. Vysvětlete prosím podmínky, které používáte, a přizpůsobte úroveň technické náročnosti otázce.
• @CodyP Vůbec se neblokuji! Možná je teorie skupin o něco vyšší, než je zde potřeba, ale … Definice vektoru je úzce svázána s tím, jak se kvantita chová pod rotací souřadnic. Skutečnost, že tuto myšlenku zjednodušíme na “ velikost a směr “ neodstraní ‚ důležitost porozumění rotaci souřadnicových systémů a to, co ‚ s invariantní a co ‚ ne. To může být pokročilé, ale to ‚ je nezbytné pro zodpovězení OP. Na úrovni Kleppnera a Kalenkowa by osoba měla být seznámena s širší definicí vektorů a rotací souřadnic.
• Otázky @CodyP na stránkách Stack Exchange nejsou ‚ t jen pro OP. Jsou také trvalým zdrojem pro pozdější návštěvníky. Odpovědi na různé úrovni jsou žádoucí, i když je nepravděpodobné, že Gary přijme OP ‚ s.
• Je to pravda, ale ‚ Je stále cenné porozumět cílovému publiku a definovat pojmy jako boost, tensor nebo dokonce “ skupina transformací „. Analogicky můžete hovořit o účincích viskozity v otázce Bernoulli ‚ zákona, ale pokud to uděláte opatrně, bude to znít spíše pedantsky a matoucí než užitečné a jasné.
• @CodyP pravda, ale možná se jednoho dne OP vrátí k jejich otázkám a pochopí to

Skutečnou odpovědí podle mého názoru nejsou některé základní filozofické argumenty o tom, co je síla. Skutečnou odpovědí je, že přemýšlení o síle jako vektoru vám dá model, který splňuje nejdůležitější kritérium pro jakýkoli model: souhlasí s experimentem. Je to také pěkné a jednoduché, což je další bonus.

Když budete uvažovat o silách jako o vektorech, budete moci přijít s předpovědi toho, co se stane, když budete experimentovat, konkrétně experimenty, kde použijete několik síly najednou. Například položte bednu na led a zatáhněte ji za lana s pružinovými šupinami, které jsou v nich uloženy, abyste změřili velikost veškeré síly je zapojen. Změřte a zapište všechny síly a jejich směry, myslete na síly jako na vektory a vypočítejte výslednou sílu působící na přepravku, která by vám měla poskytnout předpověď jejího zrychlení. Poté změřte jeho skutečné zrychlení. Ti dva by měli souhlasit, aby do nějaké chyby.

Lidé provádějí takové experimenty, stále méně sofistikované, po dlouhou dobu a zatím jsme nenašli nic, co by naznačovalo, že myšlení na síly jako vektory dává špatný výsledek. síly jako vektory s největší pravděpodobností poskytnou přesné výsledky, až budeme příště potřebovat vypočítat předpověď.

Takže se naučíme myslet na síly jako na vektory, protože to funguje. A pak mohou filozofové argumentovat o proč to funguje, obvykle tím, že to dáváme do kontextu většího obrazu, který také odolal zkoušce experimentů.

Jak již bylo řečeno, existují přirozené způsoby, jak přijít s myšlenkou dokonce uvažovat , že síla je vektor. Každá síla má konkrétně směr a velikost. Jak bylo zdůrazněno v jiných komentářích, nemusí to nutně znamenat, že musí být vektor (kinetická energie má zjevně směr a velikost, ale obvykle se o ní nepřemýšlí jako o vektoru). Stačí se však zeptat, zda by to mohl být vektor, a začít navrhovat experimenty založené na této hypotéze.

Komentáře

• Změny kinetické energie jsou skalární. Neexistuje absolutní kinetická energie; je-li absolutní kinetická energie dána jako vektor, je chápána jako relativní k referenčnímu rámci a v zásadě označuje množství energie, které by bylo převedeno, pokud by se daný objekt přestal pohybovat vzhledem k tomuto rámci. Nelze s ním zacházet jednoduše jako s vektorem; například dvě stejné hmoty pohybující se v opačných směrech, stejnou rychlostí vzhledem k referenčnímu rámci, nepřidávají k nulové kinetické energii.
• @Kaz Your “ žádný absolutní “ komentář se nevztahuje také na hybnost, takže ‚ to není dobrý důvod, protože hybnost se ukázala jako užitečná asi jako vektor. Také “ dvě stejné hmoty pohybující se v opačných směrech, stejnou rychlostí vzhledem k referenčnímu rámci, nepřidávají k nulové kinetické energii “ Nevidím ‚ problém. Kinetická energie se stává vnitřní energií, pokud považujete tyto dva objekty za jeden systém. Problém se objeví, když změníte na pohybující se referenční snímek, v takovém případě by se součet vektoru kinetické energie stal nenulovým. To není dobrá vlastnost transformace vektoru.
• (Samozřejmě, že se stane nenulovým. Jen unavený. Skutečným problémem je, že jakým nenulovým vektorem se stane, záleží na vnitřních vlastnostech systému. Mají dva objekty stejnou velikost a pohybují se stejnou rychlostí, nebo je jeden objekt větší a pomalejší? To ovlivní transformovanou energii “ vektor „.)

Tuto otázku jsem měl také dříve a strávil jsem jí dobrých 5 hodin. Vysvětlení je nakonec jen to, že posun funguje jako vektor. A zrychlení, které je jeho dvojitou derivací, také funguje jako jedna. Proč přemístění funguje jako vektor ?? Řídí se pravidly trigonometrie a posuny v jednom směru jsou nezávislé na posunu kolmém na něj. Proto definujeme vektorové koncepty tak, aby zahrnovaly toto chování. Proč se výtlak řídí pravidly trigonometrie ?? Toto bylo víceméně zjištěno spíše pozorováním než odvozováním. Nejzákladnějším základem všeho v matematice je koneckonců také pozorování a logika.

Chcete-li dostat drol bit z cesta: víte, síla je vektor z její definice.

Chcete-li prokázat, že to tak je, proveďte experimenty: začněte tím, že k sobě připojíte tři pružinové váhy (jako ty, které používají rybáři k vážení ryb) ve stejném bodě a vytáhnete ostatní konce měřítko vodorovně v úhlech 120 stupňů se stejnou nenulovou silou F. Konfigurace je uvedena v krásné grafické podobě ascii níže. Síly jsou stejné, když se podíváte na hodnoty na každé stupnici.

 F / / F ----- o \ \ F 

Také si všimnete, že bod připojení uprostřed zůstává nehybný, to znamená, že čistá síla je nulová.

Pokud by F byl skalární, bylo by nemožné přidat nebo odečíst přesně 3 nenulové F v jakémkoli pořadí a výsledkem by bylo 0.

Nyní, když víte, že síla není skalární, pak byste se pokusili přijít na způsob, jak přimět tři F, aby se sčítali až k nule, a všimnete si, že pokud spárujete směr každé pružiny s každým F, můžete získat přesně to:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Poté provedete další experimenty v různých nastaveních a zjistíte, že v každém případě bude působení síly jako skalár spárovaný se směrem dávat správný výsledek, a v tom okamžiku by se cítil oprávněně říci: pro účely výpočtu má síla velikost i směr .

Vektor na druhé straně není nic jiného než velikost spárovaná se směrem, takže jste experimentálně ukázali, že v mezích měření síla je vektor .

Závisí to na povaze váš přístup a vaše interpretace slova „vektor“. Koncepčně je prostorový vektor matematický objekt používaný k zapouzdření veličin, které mají velikost i směr. Když na něco použijete sílu, čistý výsledek pohybu daného objektu závisí nejen na tom, jak silně na něj tlačíte, ale také na směru, kterým na něj tlačíte, takže je nutné modelovat síly způsobem, který trvá směrovou složku. To platí stejně ve třech rozměrech, jako v jedné. To je nejjednodušší způsob, jak o tom přemýšlet.

Z matematické perspektivy, jak jste již zmínili, je to v definici implicitní.

„Diskuse jsme zaměřili na jednorozměrný pohyb. Je přirozené předpokládat, že pro trojrozměrný pohyb se síla jako zrychlení chová jako vektor. „- (Úvod k mechanice) Kleppner a Kolenkow.

Newton sám učinil vektorovou povahu sil prvním a druhým důsledkem svých tří zákonů pohybu:

Důsledek I:
Tělo se dvěma spojenými silami bude popisovat úhlopříčku rovnoběžníku, ve stejné době, v jaké by popisovalo strany, těmito silami od sebe .

Důsledek II:
A proto je vysvětleno složení jakékoli přímé síly AD, ze dvou šikmých sil AC a CD, a naopak rozlišení jakékoli přímé síly AD do dvou šikmých sil AC a CD: jejichž složení a rozlišení jsou z mechaniky hojně potvrzovány.

Stručně řečeno, síly jsou v matematickém smyslu kartézské vektory. toho, co představuje vect nebo.

Odvození těchto důsledků v Principia je poněkud podezřelé. Newtonův druhý zákon řeší čistou sílu na objekt, zatímco Newtonův třetí zákon řeší, jak jednotlivé síly přicházejí ve dvojicích. Jak ale spojit tyto jednotlivé síly s čistou silou? Na rozdíl od Kleppnera a Kolenkowa, jiné texty odvádějí lepší práci, když tvrdí, že síly jsou vektory, je ve skutečnosti čtvrtým Newtonovým zákonem pohybu.

Reakcí ruční vlny (např. Kleppner a Kolenkow) je tvrzení, že síly zjevně fungují jako vektory a poté pokračují. Ne-ruční vlnovou odpovědí je axiomaticky tvrdit, že síly jsou vektory, a pak pokračovat. Mezi těmito dvěma odpověďmi je jemný, ale významný rozdíl. Reakce ručních vln nechává studenty zmatené. Axiomatický požadavek vyzývá studenty, aby tento axiom zpochybnili. Dalším krokem je samozřejmě testování, zda axiom platí v laboratorním prostředí.

Fyzická síla je ve skutečnosti ne vektor. Je to čára ve 3D. Čára s velikostí. Fyzická síla obsahuje následující vlastnosti

• Směr, $ \ mathbf {e} $
• Bod kdekoli na přímce, $ \ mathbf {r} $
• Velikost, $ F $

Chcete-li popsat fyzickou sílu pomocí vektoru, zkombinujte velikost a směr do $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ jeden vektor. Stále však chybí informace potřebné k popisu fyzické síly.

Potřebujete také umístění (bod aplikace nebo linie akce, jak se nazývá). Zde máte na výběr mezi skutečným bodem $ \ mathbf {r} $ nebo ekvipolentní okamžik o počátku $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Pokud zvolíte druhou možnost, můžete bod obnovit pomocí $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Silový vektor, který znáte, se běžně používá, protože se řídí pravidly vektorové algebry.

• Přidání je hotové složkou $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Škálování se provádí pomocí komponenty $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Ale umístění dvou ohnisek se nesčítají jako vetorové.

K reprezentaci fyzických sil s vektory potřebujete 6 složkových veličin zvaných šrouby $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$, které se řídí pravidly lineární algebry a nesou poziční informace uvnitř nich, vytvářející správné geometrické a algebraické výsledky.

Komentáře

• Je to n-ta definice síly “ vektor „?
• Číst tento příspěvek pro definice šroubového vektoru.

Pojďme přemýšlet o tom, co by se stalo, kdyby síla byla not vektor.

Nejprve si všimněte, že:

Fyzikální zákony jsou v prostoru neměnné. Objekt se chová stejně, když na něj působí síla, ať už v Paříži nebo v Pekingu.

Dále si povšimneme:

Fyzikální zákony jsou při prostorové rotaci neměnné. Kopnutí fotbalového míče od vás odejde bez ohledu na to, zda jste čelem na západ nebo na východ.

Představte si, že jsme aplikovali sílu na míč spočívající na stole. Řekněme, že to pozorujeme:

Míč se začne valit na východ rychlostí 1 m / s.

Počkejte. Odkud se vzal „východ“? Proč se míč neotáčí západně ? Proto přirozeně konstatujeme:

V dokumentu musí být nějaké další informace sílu, kterou jsme aplikovali na míč.

Tyto další informace jsou směr .

Podle Newtonova druhého zákona pohybu je síla působící na těleso úměrná rychlosti změny hybnosti a je ve směru, ve kterém síla je použito. Nyní z tvrzení můžete vidět, že síla má velikost a směr. Proto je to vektor. Můžete to dokonce vidět jako bodový součin hmotnosti (skalární) a zrychlení (vektor), který vám dá vektor.