Proč je v oktávě dvanáct not?

To vyžaduje exkurzi do hudební historie.

Původně byly nástroje vyráběny tak, aby společně hrály noty, které zněly„ správně “. Proč některé poznámky zněly dobře a jiné špatně, nebylo pro většinu dějin lidstva příliš důležité, dokud Pythagoras (ano, ten chlap s teorém ) si všiml, že to má co do činění s intervaly, a vytvořil hudební teorii založenou na dokonalých pětinách. Tato teorie však měla své problémy a byla vylepšena pozdějšími lidmi a nakonec skončila tím, čemu se říká „ just intonation “

V zásadě zní noty harmonicky, pokud se jejich frekvence blíží jednoduchému intervalu, například 3/2 nebo 5/4. Tyto teorie byly důležité, protože to znamenalo, že je možné, aby různí výrobci nástrojů vyráběli nástroje, které by mohly společně hrát na stupnicích, a tak vytvářet orchestry.

Ale právě ladění má problém: v zásadě můžete hrát pouze na stupnici, pro kterou je nástroj postaven, protože intervaly mezi notami jsou různé. Pokud hrajete melodii ve špatném měřítku, bude to znít rozladěně. To znamená, že pokud chcete zpívat společně s nástrojem, musíte najít zpěváka, jehož rozsah odpovídá písni v rozsahu, pro který je nástroj postaven. Skladbu nemůžete transponovat tak, aby odpovídala zpěvákovi. Hudebníci také zkoumali hranice toho, co můžete dělat s právě intonovanými nástroji.

Takže z toho vzešel stejný temperament . Rozděluje stupnici na stejné intervaly, což znamená, že můžete transponovat melodii do dalších kláves, a také znamená, že můžete provádět dramatické změny akordů a další zajímavé věci. Oktávu můžete skutečně rozdělit do 11 nebo 13 not, pokud si to přejete udělat, ale pro většinu lidí to bude znít rozladěno . Když to ale rozdělíte na 12 not, dostat se dostatečně blízko k sedmi notám prosté intonace, aby to bylo snesitelné, až na pár nešťastných lidí, kteří jsou údajně obtěžováni nadměrně dokonalou výškou tónu. Pět tónů, které jsou mezi základními sedmi, se podle očekávání nazývá „půltóny“.

Existují stejné temperamenty než 12 tónů na oktávu, které budou znít dobře, ale obecně nemají celočíselný počet tónů na oktávu ave. Wendy Carlos s tím hodně experimentovala a vyráběla takové váhy jako Gamma scale s mírně ohromujícími 34,29 notami za oktávu.

Komentáře

• po staletí probíhalo mnoho praktických i teoretických zkoumání, ale stejný temperament vycházel konkrétně ze standardizace klávesových nástrojů (zejména církevních varhan), otázky vztekal nástroje a obnovení matematického přístupu tonality (viz například Mersenne pojednání)
• Ve skutečnosti to bylo známo před Pythagoras. Byl to jen první, jehož následovníci to zapsali. Moderní teorie také ukazuje, že malé celočíselné poměry jsou použitelné pouze pro harmonické zvuky. Inharmonické zvuky nebo zvuky pouze s lichými harmonickými produkují různá měřítka.
• To je

Tato otázka na math.se je docela podobná otázce, na kterou se ptáte, a odpovědi poskytují mnoho podrobností:

Matematický rozdíl mezi bílými a černými notami v klavíru?

Co se tady děje, je velmi výhodná matematická shoda okolností: několik mocnin 2 ^ (1/12) je dobrou aproximací poměry malých celých čísel a je jich dost na přehrávání západní hudby.

Komentáře

• Myslím, že podstatněji je (3/2) ^ 12 (129,75) blízko síly dvou (128). Pátiny na 12stupňové rovnoměrné stupnici mají tedy poměr 1,498: 1 (ideální by byl 1,5: 1), což je blíže k dokonalosti než u jakéhokoli jiného rozumného počtu not.
• Četl jsem diskuse o 19-TET (19ti tónový stejný temperament), ve kterých by diatonická stupnice měla pět “ velkých “ intervaly 3/19 oktávy a dva “ malé “ intervaly 2/19 oktávy. Taková stupnice by byla přístupná normální notaci, pokud by se jednalo o např. C # a Db jsou od sebe vzdáleny 1/3 kroku. Největší zvláštností by bylo, že klíčové podpisy s až devíti ostrými předměty nebo plochými plochami by byly odlišné (spíše než mít C # / Db, F # / Gb a B / Cb jako dvojice stejných klíčových podpisů).
• Myslím, že tento citát neplatí ani nevysvětluje otázku. Není zde náhoda. Je to konstrukcí.
• @ggcg Že stejnoměrná stupnice n-tónu se skládá z frekvenčních poměrů 2 ^ (j / n) pro celočíselné hodnoty j je konstrukcí. Že 2 ^ (7/12) a 2 ^ (5/12) jsou dobré aproximace na 3/2 a 4/3 a že neexistují podobně dobré aproximace těchto poměrů v 11- nebo 13tónovém stejném temperamentu skutečnost. A ne náhoda – týká se to pokračujícího zlomku logaritmu základny-2 ze 3. Že 2 ^ (4/12) je slušná aproximace na 5/4, je však podle mého názoru náhoda. Díky speciálním vlastnostem čísla 12 rozumíme tomu, že 12tónový stejný temperament funguje dobře.

Dva body, které nemusí být zcela zodpovězeny.

• Proč je C dur referenční stupnice pro přirozené tóny?

  Anglosaská notace trochu zakrývá historii. Tradice od církevní hudby vedla v Itálii (tehdy krátce po Francii a Španělsku) k pojmenování not referenční durové stupnice konvenčními slabikami: Ut Re Mi Fa Sol La Si (odpovídá CDEFGAB ) vycházející z latinských textů velmi známého díla té doby. Druhá jednopísmenová notace má další výchozí bod, ale referenční charakter stupnice C dur přetrvává napříč zeměmi Occidental, i když můžete najít důkazy o notacích a klávesnicích pomocí jiných poznámek jako odkazu. Jedním z hlavních vlivů byla konstrukce klávesových nástrojů (zejména kostelních varhan). Aktuální rozložení klávesnice je kompromisem mezi typickou šířkou rukou při hraní Ut (nyní se většinou nazývá Do nebo C ) hlavní měřítko snadno a přístup ke všem půltónům a několika dalším věcem. Jiné návrhy nebyly tak úspěšné.

  Musíte také vědět, že teoretizace a standardizace hudby přinejmenším do 19. století byla pod patronátem církví (ortodoxních, katolických, reformovaných, …) prosazujících jednotnost. Devatenácté století zaznamenalo ještě větší standardizaci a internacionalizaci ladění, výuky hudby a dominance klavíru jako referenčního a kompozičního nástroje. Poslední tři století v Evropě postupně potlačila nebo zapomněla většinu odlišných tradic (pokud jde o měřítka, způsoby, ladění).V dnešní době se lidé, kteří se učí o hudbě, učí jako důkaz, že stupnice C dur jako základ hudební teorie a mollová stupnice a jeho varianty nejsou vždy zacházeny spravedlivě.

• Proč je existuje půltón mezi E & F a B & C a ne jinde?

  Existuje několik stupnic / režimů mimo hlavní stupnici, s různým počtem not, kde půltóny nejsou umístěny mezi 3. a 4. notou a mezi 7. a 8. Tři menší stupnice (harmonické, vzestupné, sestupné) například, ale také dorian , frygické , můžete si o nich přečíst encyklopedický článek .

Komentáře

• Ve skutečnosti pouze ut až la pocházejí přímo z hymnu, který se pohybuje pouze od C do A, ale to bylo v pořádku, protože systém které používaly tyto slabiky, zahrnovaly překrývající se šestibonové stupnice zvané hexachords; tyto slabiky byly použity spolu s názvy písmen na stupnici se sedmi notami, které, zdá se, předcházely. Ut byl aplikován na F, C nebo G. Si byl přidán později, když se rozpadl hexachordový systém a slabiky byly aplikovány na stupnici se sedmi notami. Hlavní měřítko v té době ve skutečnosti neexistovalo, protože existovaly pouze čtyři autentické režimy a jejich protějšky plagal.

Souvisí to s harmonií. Poznámky se střetávají nejméně, když se jejich frekvence shodují . Například nota a její oktáva se shodují každé dva cykly nebo poměr 2/1. Jiné poměry, které zní dobře, jsou 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 6/5 a 8/5; tito se nazývají základní souhláskové intervaly. Intervaly, které se střetávají, jsou disonantní intervaly.

Proč tedy dvanáct not?

Dvanácti tónová stejně temperovaná stupnice je nejmenší rovnoměrné měřítko, které obsahuje všech sedm základních souhláskových intervalů s dobrou aproximací – v rámci jednoho procenta – a obsahuje více souhláskových intervalů než disonančních intervalů.

Tato stránka (ze které jsem citoval) poskytuje více podrobností: http://thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm

Komentáře

• Nemyslím si ‚ že dvanáctitónová stupnice byla představena jako stupnice stejného temperování. Představuji si však, že dvanáct pětin (nějaké velikosti) by vytvořilo poměrně “ jednotnou “ měřítko.

Pátý je nejmenší neoktávový souhláskový interval s frekvenčním poměrem 3: 2. Pokud začnete skládat čisté pětiny, první výsledek přiměřeně blízký skládaným oktávám (2: 1) je 12 pětin, což se ukáže jako 531441: 4096 oproti 128: 1 pro 7 oktáv. To je tak blízko, jak jen můžete získat za rozumný počet tónů na oktávu. Takže pokud hledáte tonalitu postavenou ze skládaných oktáv a téměř dokonalých pětin, dvanáctitónové dělení bude do značné míry to, k čemu dorazíte .

Toto také slouží několika dalším intervalům (například velká a malá třetina), ale horší než pětiny. „střední tónový temperament“ se snaží získat řadu hlavních třetin čistou za cenu, že udělá několik dalších intervalů a některé třetiny budou znít horší, a „dobře naladěné ladění“ získá několik čistých pětin a několik pěkných třetin výměnou za některé nechutnější pětiny.

Takže v průběhu tisíciletí ladění změnilo své zaměření z čistých třetin na čisté pětiny a nakonec se rozhodlo čistit pouze oktávy a stavět zbytek stupnice kolem stejně temperované pětiny, což mělo za následek 12 stejně temperovaných půltónů.

Komentáře

• to bylo velmi dobré vysvětlení. Děkuji. Stále mě zajímá rozdělení oktáv na různé počty půltónů a hraní s výsledky. Přemýšlím, jestli dvanáctistónová oktáva zněla dobře před příchodem “ hudby, jak ji známe „, nebo jestli je to něco získaného vkusu, v takovém případě lze přizpůsobit alternativní rozložení oktávy, jako v případě západní vs indické vs východoasijské hudby.

Když se hrají dvě noty společně, zní to příjemně, pouze pokud se jejich vlnové křivky spojí každých několik cyklů. Říkáme jim harmonické znění.

Pokud se vlnové křivky nikdy nespojí nebo tak neučiní během několika cyklů, budou znít nesouhlasně.

Vlnové křivky se spojí, pouze pokud tyto dvě frekvence jsou navzájem násobky. Například pokud je jedna frekvence 200 cyklů za sekundu a druhá 600 cyklů za sekundu, jejich zvukové křivky se budou přesně 3krát každou sekundu shodovat a budou znít harmonicky.

Rozdělením každé oktávy do 12 intervalů maximalizujete počet příjemně znějících párů not. Je to proto, že číslo 12 je dělitelné více malými čísly než jakékoli jiné číslo menší než 60. Je dělitelné 1,2,3,4 a 6. Číslo 60 by umožnilo příjemnější kombinace (1,2,3, 4 a 5), ale bylo by směšné rozdělit oktávu na 60 intervalů.

Takže v moderní západní hudbě používají 12 intervalů. To poskytuje maximální počet příjemně znějících kombinací pro vytvoření harmonie.

Komentáře

• Nechápu ‚ proč zde jsou dělitelé důležití. Protože například rovnoměrně temperovaný triton má frekvenční poměr 2 ^ (6/12), což je jedna z nejhorších aproximací (ve srovnání s pouhou intonací) v měřítku, zatímco dokonalá čtvrtina (2 ^ (5/12)) je jednou z nejlepší (viz odkaz v odpovědi Matthew ‚). Další malý komentář: Pokud je jedna frekvence 200 Hz a druhá 600 Hz, pak za předpokladu, že jsou ‚ znovu synchronizovány, budou ve stejné fázi 200krát každou sekundu, tj. Každý 3. cyklus rychlejší.
• Frekvence nemusejí být navzájem násobky, ‚; potřebují sdílet malého společného mutiple. Viz moje odpověď zde .
• 60 půltónů na oktávu! to je skvělý experiment, který můžete vyzkoušet: D
• @nonpop má pravdu. Pokud rozdělíme oktávu na n stejných intervalů, není důležité, aby n mělo mnoho faktorů. 16et nemá použitelné přiblížení k dokonalé pětině. 30et nemá žádné intervaly lepší než intervaly 15et, jejichž nejlepší pětina je široká 18 centů (12et ‚ s je 2 centy úzký). Na druhou stranu některé rovné temperamenty s vynikajícími intervaly mají n, například 19et, 31et a 53et.
• Ano, souhlasím s @nonpop. V této odpovědi je něco nesprávného. Žádný z 12TET intervalů “ seřazený „, právě vyladění poskytuje dokonalé zarovnání, ale způsobuje další problémy. 12TET je kompromis. Znám ‚ lidi s dokonalým hřištěm, kteří tvrdí, že VŠECHNY intervaly 12TET znějí disonantně.

Důvodem je MOZEK. Mozek má rád frekvence, které mají jednoduché rozměry. Myslí si, že jdou spolu. Opravdu byste se měli zeptat, proč tam jsou oktávy?

No oktáva představuje zdvojnásobení / polovinu hertzu (cyklů za sekundu).

Takže midi střední C je 256 hz, a pokud znáte čísla svých počítačů, budete uvědomte si, že příští oktávy C jsou na 512, 1024, 2048 atd. a nižší oktávy jsou na 128, 64, a (kupte si jízdu) 32.

Mimochodem, zemětřesení se objeví kolem 11 hertzů.

Každá společnost začíná oktávou. „Cos 1/2. Mám to?

(Navrhuji, aby 2. vídeňská škola mimochodem opustila oktávu a také ladila nástroje. Niether pro ně dává smysl. Současný stav věcí s oktávy a ladění a podobné věci jsou čisté pokrytectví. Nech to být, chlapci! Také boduje. A hrát na veřejnosti. Nikdo stejně nepřijde.)

Hh HHm …

Jak rozdělit oktávu?

Pokud ji spustíme na C a rozdělíme ji na 3 (což je příjemný poměr pro mozek), dostaneme krásnou stupnici 3 not:

C, E , G #, C

Co takhle to rozdělit na čtyři:

C, Eb, F #, A, C

„TO je hezké“, říká mozek, „ale je to příliš SYMETRICKÉ. Zdá se, že obě tyto stupnice pokračují navždy a navždy, nemohu říci, co je co. Vím! Proč nemícháte a neshodujete proporce tak, aby byly o něco nerovnoměrnější? Pak můžu přijít na basovou notu. „.

A tak se zrodil“ Proto Major Thingy „:

C, E, G, C

a „Proto Minor Thingy“:

C, Eb, G, C

„Vydrž bit „, říká mozek,“ postrádal jsi notu, že? „

“ Kde? „

“ Mezi G a C jsem si docela jistý, že měl něco mezi G a C „.

C, E, G, A, C?

“ Tak NICE! Rock and Rollish. Pokračujte tedy, co ten druhý? “ “

C, Eb, G, Bb, C?

„Hej, co je s Bb? To jsme nikdy předtím neslyšeli. Co je to za poměr? „

„ Je to 10/12. „.

„ Myslíte 5/6. Dobře. Přehrajte to znovu. „

C, Eb, G, Bb, C

„Kay, to je blues. Dobře! Ale je to před 70 000 lety a je tu spousta ubohých bastardů, kteří se kolem scenérie rozdrtili a rozdrtili tygřími zuby a podobně. Pohřby Lotty. Mucho smutek. Stejně jako Trump dnes byste měli vědět! Potřebujete rozmanitost. „

„ Permutace? “

„ Ukažte mi. “

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

„Jaký je podíl F? „

“ 4/3 „

“ Skvělé! Líbí se mi to. 5 poznámek. Pojďme to pojmenovat vymyšleným řeckým jménem. Trochu to ukořistit. Penta …? “

„Tonikum?“.

„To je úžasné“.

„Dělal jsem si srandu. Víte, příliš doslovný …“

“ Nevadí. Je to úžasné. Půjdeme s Pentatonikou. Více! Potřebujeme více! Teď jsou tu náčelníci, bláta, bižuterie, šperky.

„Potřebuji nějaká pravidla.“

„kay. Ehm … nechejte Minor třetího nebo Major třetího a Pátého kde to je, a jen přesuňte ostatní o … já vím takto: posuňte sedmý nahoru, šestý dolů, čtvrtý nahoru a druhý dolů! „

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

„Hej, pak když je všechny superponujeme,“ „“ získáme 12 dělení oktávy! Brilantní! „

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

„Proto jsem„ volal BRAIN, synu. Ach, a ty “ vítejte. „

Komentáře

• Oceňuji humor (přímo v mé uličce), ale pro tento web to může být trochu přehnané. Co dělat myslíte tím “ rozdělit C na 3? “
• @GeneralNuisance Pravděpodobně znamená rozdělit oktávu na tři stejné části.
• Ve skutečnosti je ve středním temperamentu střední C 261,63 Hz.
• Nemyslím si, že předpoklad je zdravý.

Pro západní hudbu byli prvními Řekové zjistit matematiku, která se přirozeně vyskytuje v harmonických podtextech generovaných rohy a jinými dechovými nástroji. Řekové aplikovali na matice stejné matematické poměry (zlatý řez). Pythagoras vynalezl pythagorovské ladění (3: 2) dokonalých kvinty a oktávy (2: 1), aby odpovídaly přirozeně se vyskytujícím harmonickým podtextům. Později Řekové vynalezli 7 modálních stupnic založených na pythagorovském ladění. Sedm režimů s osmi notami v měřítku. Jednalo se o váhy Jónské, Dorské, Frygické, Lydské, Mixolydské, Liparské a Locrianské. Stále používáme Ionian (Major) a Aeolian (Minor). Chyba v přirozených harmonických spočívá v tom, že oktávy mezi jednotlivými režimy byly od sebe mírně vzdálené. Aristoxenus ve 4. století před naším letopočtem vynalezl 12 tónů mezi oktávami ve snaze použít stejný poměr mezi každou notou. Později byly vynalezeny klávesy, které používají těchto 12 tónů jako domovskou základnu pro každou stupnici. Problém byl v tom, že tyto klíče jsou od přírody mírně od sebe vzdálené. K vyřešení tohoto problému J.S. Bach počátkem roku 1700 propagoval použití temperované stupnice. Vyrovnal přirozeně se vyskytující mezeru mezi každým z dvanácti půltónů. Dechové nástroje v období baroka měly tašku různě velkých gaunerů, aby ji mohli upravit pro každý tón, v němž vystupovali . Smyčcové nástroje se také musely přeladit pro každou změnu klíče. Použitím temperované stupnice mohl umělec přepínat mezi všemi různými klávesami bez přeladění.

Komentáře

• Dobře, dobrá historie, ale proč se Aristoxenus rozhodl pro 12 místo 13 nebo 11?
• Aristoxenus chtěl použít stejný poměr 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html vysvětluje matematiku, která za tím stojí.
• To byste tedy měli vysvětlit ve své odpovědi.
• Tato odpověď obsahuje mnoho nesprávných tvrzení. Zlatý řez se obecně neobjevuje v harmonii. Řecké režimy nezahrnovaly Ionian nebo Aeolian (a řecké režimy nejsou stejné jako ty, které se dnes pomocí těchto jmen učíme; řecká jména byla ve středověku aplikována na čtyři z těchto způsobů, zatímco Liparské, Jónské a Locrianské byly vyvinuty později). V měřítku je 7 odlišných hřišť, ne 8. Temperament byl vynalezen dlouho před Bachem a temperament zvýhodněný Bachem nebyl stejný. Mosazní podvodníci nemají nic společného s temperamentem a struny se nemuseli přeladit pro každou klíčovou změnu.

Jednoduchý obrázek je někdy lepší než obrovské vysvětlení, proto doporučuji zkontrolovat grafy v tomto odkazu. Můžete například přejet myší 10edo na 19edo, abyste viděli rozdíly mezi různými divizemi: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (podívejte se na nejsilnější souhlásky: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 a 3/5 – 5 / 3, zbytek grafu ve skutečnosti není důležitý ve srovnání.)

V podstatě to, co jasně ukazuje, je to, že rozdělení na 12 not je jediné, které dělá poměry 3/2 a 4/3 (nejdůležitější po oktávě) *** téměř čistý. A tercie / šestiny (poměry s číslem “ 5 „, další většina důležitých ***), nejsou ani tak špatní. Žádné jiné dělení slušným počtem bankovek, 10 až 19, se k tomu nemůže ani trochu přiblížit. je matematicky remarquable a důvod, proč používáme 12 poznámek a ne 13, 11 atd.

** (“ 1/3 “ znamená pouze poměr 4/3 se dvěma oktávovými směnami, je to tak, jak původně uvádějí čísla.)

*** (Mám na mysli to, že pokud váš mozek chce snadno rozpoznat a zapamatovat si hudbu, potřebujete spíše velkou skupinu pětin, čtvrtiny a třetin, abyste byli více či méně naladěni ve svém hudební architektura, dokonce melodická, jinak jsou to většinou disonantní zvuky, které vedou k hluku a je těžké si je zapamatovat pro váš mozek …)

Skvělá odpověď, kterou napsal @John Baldwin výše. Jut chtěl dodat, že tato minimální rozdělení jsou také nejpraktičtější. Vezmeme-li například zpěv mezi jednou notou, řekněme C a její vyšší oktávou C, 7 intervalů produkují nejzřetelnější zvuk plus 5 ostrých a plochých ploch = 12.

A pak, když jej začneme dále dělit, začne pomalu dostávat velmi jemné dílčí harmonie, aby je lidský sluch rozeznal. A těchto 12 dělení pak opakujte ve vyšších a nižších oktávách atd.

Nejjednodušší je identifikovat 4 dělení, která jsou dělitelem 12, což tvoří pentatonickou stupnici s vyšší notou, d je důvod, proč je snadno příjemné.

Komentáře

• To mi ‚ nedává velký smysl. Co myslíte tím “ odlišným „? Myslel bych si, že souhláskové intervaly jsou méně odlišné než například disonanční a dvanáctónová stupnice je navržena kolem souhláskových intervalů. Sharps and flats are not ‚ t něco, co můžete vyloučit při počítání intervalů, pokud ‚ nepracujete v rámci konkrétní klávesy nebo harmonické teorie nebo seomthing (a ještě jste ‚ t neurčili). Nakonec, jak může 7 intervalů vyprodukovat “ nejvýraznější zvuk “ pokud jsou 4 (nebo spíše 5) intervaly nejjednodušší identifikovat „?
• Výrazný znamená, že je jasně identifikována změna z jedné noty na druhou. Čím více divizí v měřítku, tím méně výrazné noty. Rezonanční intervaly lze snadno identifikovat, protože jsou nepříjemné, ale pokud jde o harmonii mozku, 7 intervalů je hudebních a přirozeně melodických. Zkuste zpívat disonanční melodii a melodickou melodii a budete vědět, která z nich se cítí snadněji. pentatonic je podmnožina a má výraznější intervaly než všech 7 not stupnice. Pokud jste se rozhodli přidat více zastávek například v měřítku 20, stane se z toho přirozeně jedno dlouhé zívnutí

Na základě vašeho znění otázky bych řekl, že je to záměrné. Není náhoda, že 12 půltónů zapadá do oktávy spíše než 11 nebo 13. Ačkoli se detaily mohou změnit, pokud by se předpokládalo právě ladění, vysvětlím to za předpokladu stejného temperovaného ladění. Nejprve byste měli vědět, že existuje kontinuum frekvencí a tedy výšek mezi libovolnými dvěma notami. Prostřednictvím staletí experimentů jsme konvergovali ke konkrétnímu výběru výškových kombinací pro západní diatonické měřítko. Poznámky v měřítku odrážejí to, co je příjemné pro ucho (u) pro konkrétní kulturu. Postupem času lidé ze Západu standardizovali půlkrok rozdělením oktávy na 12 kroků pomocí vztahu

f_octave = 2 * f_tonic

zavedli omezení, že poměr dvou po sobě jdoucích půlkroků bude stejně bez ohledu na to, kde začínáte,

f_1 / 2 = r * f_tonic (to by byla malá sekunda)

protože vynucujeme počet 1/2 kroků od toniky k oktáva na 12 dostaneme vztah

r ^ 12 = 2 nebo r = 2 ^ (1/12)

IMO několik příspěvků zde uvádí vozík před koně. Pomocí výše uvedené definice půltónu nemůžete prokázat, že oktáva má pouze 12 půltónů. Spíše se ptáte, jaký musí být poměr, aby bylo zajištěno, že v oktávě je 12.

Za tímto účelem existují nejrůznější alternativní chromatičnosti, které se pokoušejí umístit N stejných kroků do oktávy. Výsledkem je ladicí rovnice,

r = 2 ^ (1 / N)

K dispozici je 24 TET obsahující 24 stejných čtvrtinových kroků v oktávě. A absolutně byste mohli vytvořit měřítko s

r = 2 ^ (1/13)

nebo jiným kořenem 2. Samozřejmě by to NENÍ 1/2 kroků v tradiční význam pojmu. Nyní je otázka, jak jsme se tam dostali, delší příběh. Před vyladěním 12TET má stupnice Just dur s 8 notami (včetně oktávy) více než 5 náhodných. Můžete to vygooglit a najít články Wiki k tomuto tématu, ale věřím, že tam byly jen stupnice se až 17 nezávislými poznámkami v oktávě. Ačkoli všechny po sobě jdoucí poznámky jsou pravděpodobně mírně odlišný poměr. Proto to není 1/2 krok. To, čemu říkáte krok 1/2, závisí na tom, jak jste se tento výraz naučili.