Často jsem četl, že kovy, které jsou Fermiho kapalinami, by měly mít měrný odpor, který se mění s teplotou jako $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Myslím, že část $ T ^ 2 $ je odpor způsobený interakcemi elektronů s elektrony a konstantní člen je způsoben rozptylem nečistot.
Existuje jednoduchý argument, který to ukáže? Nebo byste mě mohli ukázat na pěkný odkaz?
Také se zdá, že pro interakce elektronů s elektrony k zavedení konečného měrného odporu je nutný nějaký umklappův rozptyl (prolomení galilejské a translační invariance). Je to správně? Kterou z těchto symetrií (galilejskou nebo translační) je třeba prolomit?
Komentáře
- Hledám lepší odpověď, ale moje jednoduché porozumění je takto: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. A $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ je to, co definuje chování kapaliny Fermi.
- Škálování $ T ^ 2 $ vyžaduje jak Umklapp, tak rozptyl elektron-elektron. Efektivně se $ 0 (kT) $ okolí povrchu Fermi pro kvazičástice účastní interakcí, které implikují škálování, arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: To je ‚ také to, na co jsem myslel, ale odkud přichází umklapp?
- Má někdo nějaké dobré reference o výpočet efektu umklapp v teorii Fermiho tekutin?
- Existuje několik jednoduchých argumentů “ phase-space “ motivovat závislost $ T ^ 2 $; narazili jste na ně, @jjj?
odpověď
Jak interakce elektron-elektron vede k $ T ^ {2} $ závislost může být vysvětlena pochopením omezení kladených na rozptyl elektronů-elektronů zachováním hybnosti a principem vyloučení.
Vezměme si fermiho povrch elektronového plynu ve 3D. Povrch Fermi je koule o poloměru $ k_ {f} $. Při konečných teplotách elektrony zabírají stavy mimo povrch Fermiho řízené rovnicí Fermi Dirac, charaktarizované skořápkou mimo sféru Fermi s poloměrem, který je úměrný teplotě. Ve sféře Fermiho proto existují prázdné stavy uvnitř pláště stejného poloměru.
Pokud zapneme interakce elektron-elektron, při malé síle interakce to můžeme považovat za rozptyl elektronů mezi těmito stavy ve výše uvedeném neinteragujícím obrázku. Elektrony, které jsou Fermiony, mohou obsadit pouze státy, které již nejsou obsazené, spolu s uspokojivou ochranou hybnosti. Musíme tedy vybrat dva elektrony, oba jsou na skořápkách poloměru úměrného T, na obou stranách povrchu poloměru $ k_ {f} $, abychom se mohli rozptylovat do prázdného stavu mimo $ k_ {f} $ povrch a druhý do prázdného stavu v prostředí uvnitř povrchu $ k_ {f} $. Pravděpodobnost výběru dvou takových elektronů je tedy úměrná $ T ^ 2 $.
Protože příspěvek k měrnému odporu je úměrný pravděpodobnosti těchto rozptylových událostí, vedou tyto interakce k $ T ^ 2 $ závislost odporu.
Existují přísnější argumenty, ale myslím si, že to poskytuje intuitivní obraz, platný v kontextu slabých interakcí a nízké teploty.
Odpověď
Nebo byste mě mohli odkázat na pěkný odkaz?
Podrobnosti za následující odpovědí najdete v následujícím příspěvku arXiv (a tam uvedených odkazech) arXiv: 1109.3050v1 .
Existuje jednoduchý argument, který to ukáže?
Zdá se, že ne, ale mohu říci následující. vodivost způsobená srážkami elektronů a elektronů je obecně dána vztahem: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ kde $ \ sigma $ je elektrická vodivost, $ n $ je hustota počtu elektronů, $ e $ je základní náboj , $ m $ je hmotnost elektronu a $ \ tau_ {coll} $ je průměrná časová škála kolize (nebo míra relaxace). Všimněte si, že měrný odpor , $ \ eta $, je pouze inverzí vodivosti ve skalární aproximaci.
U kapaliny Landau-Fermi lze průměrnou míru relaxace elektronů na povrchu Fermi zobrazit jako: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ vlevo (m * \ vpravo) ^ {3} \ \ vlevo (k_ {B} \ T \ vpravo) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ kde $ \ alpha $ je účinnost přenosu hybnosti do iontové mřížky jako bezrozměrné množství uspokojující $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ je Boltzmannova konstanta , $ \ hbar $ je Planckova konstanta , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ je pravděpodobnost přechodu pro nepružný rozptyl.
Citace z výše uvedeného referátu arXiv:
Nicméně skutečnost, že těleso nemá úplnou překladovou symetrii, má důležité důsledky. Již v roce 1937 Baber předvedl mechanismus pro konečný měrný odpor ve dvoupásmovém modelu, ve kterém jsou elektrony $ s $ rozptýleny z těžších otvorů $ d $ skrínovanou Coulombovou interakcí … jednopásmové Umklappovy procesy umožňují přenos hybnosti do systému souřadnic krystalu …
kde procesy Umklapp odkazují na elektron- phonon a / nebo phonon-phonon rozptyl v mřížce. Autoři také ukazují, že výraz v hranatých závorkách lze integrovat do následujících: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ vpravo)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$, kde $ \ lambda _ {\ tau} $ je bezrozměrný parametr popisující interakci efektivní v polaronu -polaronový rozptyl a $ \ epsilon_ {F} * $ je Fermiho energie polaronů. Po malé algebře můžeme ukázat, že: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Tedy odpor je úměrný $ \ eta \ propto T ^ {2} $.