Proč vzorce pro planck ' s jednotky používají h místo hbar?

stránka answer.com, kterou uvedené používá následující vzorec: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Všimněte si, že ve jmenovateli je faktor $ 2 \ pi $ – takže $ h / 2 \ pi $ lze zjednodušit jako obvyklé $ \ hbar $. Pravděpodobně nebyli schopni napsat tento znak, nebo se chtěli vyhnout terminologii a symbolům, které znají pouze fyzici. Na stránce answer.com se však nenachází žádná numerická chyba. V každém případě je výše uvedená definice ekvivalentní $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$, což je obvyklá „neredukovaná“ Planckova délka. Stejný vzorec najdete na Wikipedii:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Číselně je to 1,6 $ krát 10 ^ {- 35} $ metrů. (Aktualizace: Oxfordský slovník angličtiny má špatný vzorec – vynechali $ 2 \ pi $ a také zapomněli překročit $ h $. Jasně však znamenají stejnou Planckovu délku.) Někdy lidé také používají „zmenšený“ Planck délka, která je více fantastická a „profesionální“ v jistém smyslu: $$ L_ {Planck, redukované} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Všimněte si, že $ 8 \ pi $ v čitateli může být také sloučen s $ \ hbar $, aby získal $ 4h $ zpět – takže zmenšená Planckova délka je dvakrát (kvůli druhé odmocnině) špatná Planckova délka, kterou byste dostali použitím $ h $ místo $ \ hbar $. Ale jaký je skutečný důvod, proč tam bylo přidáno $ 8 \ pi $?

Důvod, proč se místo $ G $ objeví $ 8 \ pi G $ je ten, že v jistém smyslu je $ 8 \ pi G $ přirozenější konstanta než $ G $: tato diskuse je obdobou léčby $ 4 \ pi $ v elektrodynamice. Konstanta $ 8 \ pi G $ je přirozená, protože Einstein-Hilbertova akce je $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ The nejpřirozenější koeficient by byl $ 1/2 $ místo $ 1/16 \ pi G $, díky čemuž je přirozené nastavit $ 8 \ pi G = 1 $. Zmenšená Planckova délka je o něco delší (přibližně pětkrát) – méně extrémně malá. Ještě častěji fyzici částic hovoří o Planckově energii a snížené Planckově energii, které jsou blízké 10 $ {19} $ a 10 $ {18} $ GeV.

Konvence pro konstantní $ G $ původně vybral Newton, který chtěl zapsat gravitační sílu jako $ GMm / r ^ 2 $. Bylo by přirozenější mít ve jmenovateli faktor $ 4 \ pi $ nebo $ 8 \ pi $, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Vidíte, že $ \ Gamma $ je jednoduše $ \ Gamma = 8 \ pi G $ a bylo by přirozené nastavit $ \ Gamma $ na jednu.

Doufám, že nemám vysvětlit, proč je $ \ hbar $ pro dospělé fyziky přirozenější než $ h $. „Laické“ verze vzorců mohou být s $ h $ jednodušší – ale zabývají se vlnovou délkou atd. Dospělí fyzici vědí, že vlnová délka sinusu je proporcionální k $ 2 \ pi $. A nejzákladnější rovnice, jako je Schrödingerova rovnice nebo komutátory $ [x, p] $, mají jednodušší formu, pokud jde o $ \ hbar $ než $ h $, z samozřejmě.

Zpět na $ G $: lidé si museli zvolit konvenci, jak normalizovat $ G $ ve vyšších dimenzích. Obvyklá konvence, jak je implicitně použita výše, je, že Einstein-Hilbertova akce má vždy koeficient $ 1/16 \ pi G $. To znamená, že v dimenzích časoprostoru $ D $ síla nebude $ GMm / r ^ {D-2} $, ale bude v ní být několik numerických koeficientů závislých na $ D $.

Nejlepší přeje si Luboš

Komentáře

• Děkuji Luboši! Chápu, že by měl existovat omezený Planck ' s tam tak či onak (s hbar nebo s h nad 2 pi).Vidím však rozpor mezi rovnicí Wikipedia ' a rovnicí Oxford dict ', protože I ' Aktualizoval jsem otázku k zobrazení.
• Děkujeme za aktualizaci, chybné uživatelské jméno. Oxfordský slovník obsahuje chybu – zapomněli lomít $ h $, buď kvůli nedostatečnému počtu písem, nebo kvůli nekompetentním autorům haha.

To musí souviset s problémy s sazbou. Přírodní jednotky (Planckovy) mají hbar = 1, nikoli h = 1.