Komentáře
- To není nutné dělat, i když to lze očekávat. Je to ' ve skutečnosti mnohem základní identita než cokoli, co by vyžadovalo integrál. Musíte pouze zamíchat operátory ze strany na stranu výrazu bra-ket pomocí definice Hermitianského konjugátu.
Odpovědět
Jak již bylo napsáno vlevo, integrace po částech je zbytečná. Nemáte výrazy pro operátory, takže pro to není důvod. Můžete však použít následující: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ klobouk {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align}, kde jsem použil definici poustevnický konjugát, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ a základ $ | c \ rangle $ vlastních vektorů operátora v Hilbertově prostoru, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Odpověď
Ve skutečnosti nemusíte vybrat základnu, jak je uvedeno v Odpověď Andrewa McAdamse.
Toto je nejjednodušší dokázat matematickou notací (na rozdíl od Diracova notace), kde $ (\ cdot, \ cdot) $ je vnitřní produkt, pak pro všechny vektory $ \ phi $ a $ \ psi $ v prostoru Hilberta a pro operátory $ A $ a $ B $ máme \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align}, zatímco na druhé straně \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} což podle potřeby znamená $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $.
Komentáře
- a zde jako jediný řádek, jen pro sakra: $ ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dýka \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dýka A ^ \ dýka \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dagger = B ^ \ dagger A ^ \ dagger $