Takže v $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ máme vnitřní produkt Frobenius dané $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
, které lze interpretovat jako euklidovský vnitřní produkt na $ {\ bf R} ^ {np } $. Rozumím tomu tak, že všechny vnitřní produkty na $ {\ bf R} ^ {np} $ lze pro $ P $ positivně definitivně zapsat jako $$ a ^ TPb $$. To nejlepší, co jsem mohl udělat při pokusu o rozšíření vnitřního produktu Frobenius na $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $, je něco ve tvaru $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ za $ X_i \ in {\ bf R} ^ {m_i \ times n} $ a $ Y_i \ in {\ bf R} ^ {p \ times q_i} $ všechny plné hodnocení. Rád bych však věděl, jestli to pokrývá všechny vnitřní produkty na $ {\ bf R} ^ {np} $, nebo jestli je to kvůli propouštění složitější, než je nutné.
Najdu odpovídající matice $ P $ pro jakýkoli konkrétní vnitřní produkt matice převzetím standardní báze pro $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ a vytvořením matice
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ dots & \ jazyk E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
ale nevím, jestli obecný formulář pro vnitřní produkt matice, který jsem dal výše, pokrývá všechny pozitivně-definitivní matice $ P $.
Aktualizace:
novější verze této otázky na MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Komentáře
- Vítejte na SciComp.SE! Toto je zajímavá otázka, ale zdá se mnohem vhodnější pro math.stackexchange.com . (Pokud ' sa připojení k problému výpočetní vědy chybí, ' m, v tom případě ' d by bylo skvělé, kdybyste to mohli přidat.)
- @ChristianClason, ' souvisí s optimalizací na maticových potrubích s Riemannovými metrikami, protože Riemannovy metriky jsou vnitřní produkty v tečném prostoru. Je ' s téměř jistě příliš pokročilý pro Math.SE, jediným dalším vhodným místem by byl MathOverflow. Vlastně jsem možná našel to, co považuji za řešení, které mohu zveřejnit jako odpověď, jakmile provedu chaotickou práci dokazující, že je to řešení, ale pokud ' d chcete migrovat to na MathOverflow I ' m ok s tím. Když dostanu šanci, přidám optimalizační kontext.
- Matice $ P $ musí být také symetrická, ne pouze pozitivní určitá. Li ' >
- @WolfgangBangerth, pozitivní-definitivní znamená symetrické.
- Ne pro všechny autory pozitivní-definitivita znamená symetrii.
Odpověď
Vnitřní produkt můžete vidět jako operaci $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, tj. je to bilineární funkce, která (i) vrací nezáporné číslo, (ii) splňuje vztah $ f (a, b) = f (b, a) $.
U vektorů $ a, b \ in \ mathbb R ^ n $ lze všechny bilineární funkce, které splňují tyto vlastnosti, zapsat jako $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$, kde $ P $ je symetrické a pozitivní určité. Pro matice $ a, b \ in \ mathbb R ^ {n \ times p} $ lze všechny takové funkce zapsat jako $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$, kde nyní $ P $ je tenzor 4. úrovně, který je symetrický v tom smyslu, že $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ and positive definite in the sense that $ f (a, a) > 0 $ for all $ a \ neq 0 $.
Vaše otázka se může snížit na zda každý $ P $, který splňuje takové podmínky, může být zapsán do formuláře, který je výsledkem vektorů $ X_i, Y_i $. Věřím, že odpověď na tuto otázku je ne. Je to jednoduše proto, že (pro jednoduchost za předpokladu $ n = p $) symetrické $ P $ má (asymptoticky) $ n ^ 4/2 $ stupně volnosti, zatímco vektory $ n $ $ X_i, Y_i $ mají pouze $ 2n ^ 2 $ stupně volnosti. Jinými slovy si nemyslím, že u dostatečně velkých $ n $ má váš přístup dostatečně mnoho stupňů volnosti.
Komentáře
- I ve skutečnosti věřím, že odpověď je ano, ' se chystám přepsat tuto otázku na přetečení matematiky s mými aktualizovanými výsledky.
- Ano, tvůj argument, že # parametrů roste kvartálně ve vektorovém vnitřním produktovém prostoru, zatímco pouze kvadraticky ve vnitřním produktovém prostoru matice je přesvědčivý, ale protože prostor je nakonec konečný, měli bychom být schopni to překonat vhodným zvýšením $ N $.
- Omlouvám se, že jsem na MathOverflow zveřejnil novější verzi této otázky, nicméně ' s dostatečně aktualizovaný jsem to považoval za vhodné, zde je odkaz pro případ, že chcete přenést odpověď tam nebo aktualizovat odpověď na základě novější verze. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Upozorňujeme, že @ ChristianClason doporučil zveřejnit dotaz na math.stackexchange.com, ne na mathoverflow.net. Jedná se o dva různé weby s různými účely a publikem.
- @FedericoPoloni ano, vím, a pokud si přečtete, co jsem napsal, řekl jsem mu, že jsem si myslel, že je to pro Math.SE příliš pokročilé a je nepravděpodobné, že by odpověď tam.