Ví někdo, co by bylo $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, kde $ t ^ a $ atd. jsou matice Gell-Mann? K tomu došlo při analýze barevného faktoru pro comptonový efekt pro QCD. Musí to být docela běžné, ale nemohl jsem najít vhodný odkaz. Obecně existuje nějaký odkaz na stopování libovolného počtu matic Gell Mann?
Odpověď
Beru SU (N) generátory v základní reprezentaci se normalizovaly tak, že $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Komutátor dvou generátorů definuje strukturní konstanty $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Antikomutátor dvou generátorů je
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
kde pod $ 1 $ mám na mysli matici identity a $ d ^ {abc} $ jsou „d-symbol“ definovaný jako
$$ d ^ {abc} = 2 \ text {Tr} \ levá [\ levá \ {T ^ a, T ^ b \ pravá \} T ^ c \ pravá] $$
Pak existuje užitečná identita
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + if ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Navrhuji vám tento odkaz http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf kde se shromažďují různé identifikační stopy. Pro váš případ se podívejte na rovnici 75 v příloze B, strana 9.
Před použitím této identity zkontrolujte normalizaci generátorů.
Komentáře
- Odkaz se zpravidla aktivně nedoporučuje, protože pokud odkaz zmizí, odpověď je k ničemu. Použijte Mathjax k úpravám v příslušných rovnicích, aby odpověď mohla být samostatná.
- @Angela, pokud to odpovídá na vaši otázku, měli byste ji označit jako zodpovězenou.