Dostal jsem problém s domácími úkoly, kde jsme potřebovali vypočítat čas, aby padající objekt dosáhl určité rychlosti při výpočtu tažné síly. Udělal jsem to nastavením zrychlení jako funkce rychlosti a integrací (byla to diferenciální rovnice).
Jedná se však o úvodní kurz fyziky, který nevyžaduje žádné znalosti kalkulu. Derivace jsme zatím ještě nedělali, přísně vzato. Měl jsem to štěstí, že jsem kalkul dříve absolvoval, takže jsem byl umí rozpoznat a vyřešit diferenciální rovnici.
Když jsem se zeptal spolužáků, jak to udělali, řekli, že si pohrávali s čísly, dokud nedostali něco, co fungovalo (bylo to online, za špatné odpovědi nebyly odečteny body U většiny z nich pouze rozdělili konečnou rychlost zrychlením v důsledku gravitace, což nedává smysl, protože jsme ani nepožadovali čas potřebný k dosažení konečné rychlosti, ale 63% z ní. Tato metoda se zaokrouhlila na stejné číslo jako správné.
Moje otázka zní, existuje nějaký způsob, jak tuto hodnotu najít pomocí elementární fyziky, nebo nám můj profesor dal nespravedlivý problém? TA nepomohly a během jejích úředních hodin jsem měl třídu.
Samotná otázka zní takto:
The konečná rychlost dešťové kapky 4 × 10 $ ^ {- 5} $ kg je asi 9 m / s. Za předpokladu tažné síly $ F_D = −bv $ určete čas potřebný pro takový pokles, počínaje od klidu až k 63 % rychlosti terminálu.
Komentáře
- Protože odpověď zahrnuje jeden způsob exponenciální / logaritmus nebo jiný, člověk by musel vyvinout nějaké řešení zahrnující exponenciální / logaritmus. Vyberte si svůj jed … Mám pocit, že ' to bude nějaká aproximace počtu.
- Myslím, že řešení zahrnující logaritmy by bylo spravedlivou hrou. ' Očekáváme, že to víme. Problém je, že ' t pro život mě vymyslet jakýkoli způsob, jak to udělat, který ' t nezahrnuje diferenciální rovnici. Možná i t ' s, protože jsem ' m zvykl dělat takové problémy po použití počtu. Pokud by někdo mohl přijít s jinou metodou, bylo by to velmi oceněno.
- To ' pravděpodobně souvisí s tím, že 63% je $ 1 – e ^ {- 1} $
Odpověď
Pokud je tažná síla modelována jako lineární funkce rychlosti $ (\ vec { F} _D = -b \ vec {v}) $, pak je problém přímočarý . Vertikální rovnováha sil pro padající kapičku je $$ \ Sigma F_y = mg-bv = m \ dot {v}, $$, která udává následující diferenciální rovnici pro rychlost: $$ \ boxed {\ dot {v} + \ frac {b} {m} v = g}. $$ V omezujícím případě maximální rychlosti / nulového zrychlení $ (\ dot {v} = 0) $ se silová rovnováha zjednoduší na $$ mg = bv_ {max} , $$ nebo $$ \ box {v_ {max} = \ frac {mg} {b}}. $$ Vracíme se k naší diferenciální rovnici, je-li počáteční rychlost $ v (0) = 0 $, pak řešení tato ODE je $$ v (t) = \ frac {mg} {b} \ left [1-e ^ {- bt / m} \ right]. $$ Definováním časové konstanty jako $ \ tau = \ frac { m} {b} $ a pomocí definice koncové rychlosti se časový vývoj rychlosti zjednoduší na $$ \ boxed {v (t) = v_ {max} \ left [1-e ^ {- t / \ tau } \ right]}. $$ Pozice, je-li požadována, je dostatečně snadno nalezena provedením další integrace: $$ y (t) = \ int {v} dt = v_ {max} \ int {\ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)} dt. $$ Za předpokladu, že počáteční pozice $ y (0) = 0 $ a zjednodušení, řešení vertikální polohy je pak $$ \ boxed {y (t) = v_ {max} t + v_ {max} \ tau \ left [e ^ {-t / \ tau} -1 \ right]}. $$ Takže nyní máme analytická řešení pro zrychlení, rychlost a polohu padajícího objektu jako funkce času a systémových parametrů, které jsou všechny známé ( kromě $ b $). Nezapomeňte však, že požadovaný čas k dosažení rychlosti 0,63 $__maximálně $ není libovolný. Po uplynutí jedné časové konstanty budeme mít $$ \ frac {v (\ tau)} {v_ {max}} = 1-e ^ {- 1} = 0,63212 = \ box {63,212 \%}. $$ Jednoduše tedy musíme vypočítat hodnotu časové konstanty a výsledná hodnota bude vaší odpovědí. Pokud jde o vaše spolužáky, nemýlili se. Naším cílem je vypočítat $ \ tau $ a pokud se podíváte pozorně na naši dřívější matematiku, uvidíte, že $ \ tau $ se skutečně rovná koncové rychlosti dělené $ g $. Oktávové grafy funkcí polohy, rychlosti a zrychlení jsou uvedeny níže pro referenci (ve druhém grafu nahraďte $ k $ za $ b $).
Komentáře
- Ano, nikdy nás to neučilo rovnice, na kterou jste odkazovali. Ale díky, to je skoro přesně to, co jsem hledal.Jen jsem chtěl vědět, jestli existuje obecnější metoda řešení této otázky, kterou jsme měli být schopni zjistit, a vypadá to, že odpověď je ne.
- @JakeChristensen Stále může existovat další způsob, jak najít svou odpověď, ale pamatujte, že Calculus (alespoň Newton ' s Calculus) byl vynalezen k řešení fyzikálních problémů 😉
Odpověď
Tažení je obvykle úměrné druhé mocnině rychlosti, a proto je zrychlení směrem dolů
$$ a = \ dot {v} = g – \ beta v ^ 2 $$
Řešení takového pohybu je $$ \ begin {aligned} x & = \ int \ frac {v} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {2 \ beta} \ ln \ left ( 1 – \ frac {\ beta v ^ 2} {g} \ right) \\ t & = \ int \ frac {1} {a} {\ rm d} v = – \ frac {1} {4 \ sqrt {\ beta g}} \ ln \ left (\ frac {(v \ sqrt {\ beta} – \ sqrt {g}) ^ 2} {(v \ sqrt {\ beta } + \ sqrt {g}) ^ 2} \ right) \ end {zarovnáno} $$
Připojte tedy rychlost $ v $ , na kterou chcete cílit, a dá vám vzdálenost $ x $ a $ t $ k dosažení tohoto cíle.
PS. Pokud neznáte parametr drag $ \ beta $ , ale znáte nejvyšší rychlost, můžete ji odhadnout z nejvyšší rychlosti řešením $ a = g – \ beta \, v _ {\ rm top} = 0 $ .
Odpovědět
1) Najděte sílu odporu při konečné rychlosti. 2) Vynásobte tuto sílu o 0,63 (63%) 3) Vydělte tuto novou sílu hmotou kapky deště 4) Použijte čas zrychlení rychlosti kinematická rovnice k řešení pro čas $$ {(V) = (Vi + a (t))} $$
Komentáře
- To není ' správné. Předpokládáte, že zrychlení je konstantní (což výslovně není v žádném případě, pokud jde o změnu rychlosti a odporu vzduchu) . ' Předpokládám, že $ a (t) $ znamená $ a * t $, protože pokud máte na mysli $ a $ jako funkci $ t $, nemá to smysl vše.