V mém přístupu musí být zásadní chyba. Začněme konstatováním, že máme jednoduchou regresi se dvěma proměnnými $ X_t $ a $ Y_t $:
$ Y_t = BX_t + e_t $
Kde je koeficient $ B $ a $ e_t $ je termín chyby. Dále vezměte první rozdíl uvedené rovnice odstraněním $ Y_ {t-1} $ z obou stran:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t – Y_ {t-1} $
Nahraďte $ Y_ {t-1} $ z první rovnice:
$ Y_t-Y_ {t-1} = BX_t + e_t -BX_ {t-1} -e_ {t-1} $
=> $ ΔY_t = BΔX_t + Δe_t $
První rozdílná regrese je často prezentována tímto způsobem, ale pak když je skutečně spuštěn, je spuštěn nahrazením $ X_t $ a $ Y_t $ jejich rozdíly, a nikoli odečtením $ Y_ {t-1} $ od obou stran:
$ ΔY_t = B_1ΔX_t + v_t $
Kde $ v_t $ je nový chybový termín rovnice. Nyní tyto postupy nejsou ekvivalentní, tak proč jsou popsány jako takové? Dále proč je často chybový termín prvního rozdílového modelu popsáno jako $ \ Delta e_t $, když také to není pravda, protože chybový termín nesouvisí s počátkem chybový termín, protože odhadovaná rovnice je prostě jiná. A konečně, proč nejde o první rozdílovou regresi odečtením $ Y_ {t-1} $ od obou stran, což dává ekvivalentní výsledky první rovnici (v tomto případě bez údajů průřezového panelu)?
Odpověď
Oba postupy jsou ve skutečnosti stejné. Rozdíl mezi $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + \ Delta \ epsilon_t $$ a $$ \ Delta Y_t = B \ Delta X_t + v_t $$ je to, že můžete odhadnout druhé, ale ne první, protože nedodržujete $ \ epsilon_t $. První rovnice je tedy spíše teoretickým modelem, zatímco druhá je odhadovací rovnice, kterou byste použili v praxi. Pokud jste chtěli ručně odečíst $ Y_ {t-1} $ z obou stran ručně, pak to lze provést pouze v případě, že pozorujete skutečné chyby. Zjistíte, že $ v_t $ je odhad $ \ epsilon_t $. Změňte uspořádání teoretického modelu a regresní rovnice, pokud $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = \ Delta \ epsilon_t $ a $ \ Delta Y_t – B \ Delta X_t = v_t $, pak musí platit, že $ \ Delta \ epsilon_t = v_t $. Zvažte jednoduchý příklad se dvěma časovými obdobími a $ B = 0,3 $, které jsou v průběhu času konstantní.
$$ \ begin {pole} {c | lc | r} čas & Y_t & X_t & Y_t – BX_t = v_t \\ \ hline 1 & 10 & 17 & \\ 2 & 13 & 21 & \\ \ hline \ Delta & 3 & 4 & 3 – 0,3 \ cdot 4 = 1,8 \ end {array} $$
Předpokládejme, že $ v_t $ byl konzistentní odhad všech $ \ epsilon_t $ období (což je zde pravda, protože jsme deterministicky specifikovali proces generování dat opravou $ B $), pak $ \ widehat {v} _t = \ Delta \ epsilon_t = 1,8 $ je reziduum z naší druhé regrese jako odhad chyba první rovnice.
Komentáře
- Nelze ' t první model jednoduše odhadnout odečtením pozorovatelných zpožděných hodnot namísto odečtení zpožděné hodnoty Y z levé strany a zpožděné hodnoty X z pravé strany. Není třeba vypočítat nepozorovatelnou chybu tímto způsobem (i když se domnívám, že je to také možné). Pro mě to vypadá, že jste předpokládali rozdíl pryč za předpokladu stejného koeficientu beta. Ano, chyby se navzájem rovnají, pokud je koeficient shodný. Ale to není obvyklý případ. Proto je společná integrace modelů tak důležitá …
- Předpokládali jste, že $ B $ bude také v průběhu času konstantní, protože nemá žádný časový index. A obecně nemůžete jen odečíst $ Y_ {t-1} $ z obou stran, protože za to musíte dodržovat $ e_t $.
- V konečné rovnici je dolní index s chybovým výrazem Vt. Odhad těchto dvou různých rovnic nevede ' ke stejné beta verzi.
- A co znamená $ B_1 $? Pokud $ B $ není ' t konstantní, nemůžete časová období měnit tak, jak jste to dělali, protože $ B_2 X_t – B_1 X_ {t-1} = (B_2 – B_1) \ Delta X_t $.
- Ano, mohu, protože odhadovaný koeficient bude v první a druhé rovnici přesně stejný (pokud jsou počáteční hodnoty 0 – což jsem předpokládal), není tomu tak s konečnou rovnicí (tedy b1). Důležité však je, že pokud vás čtu správně, první metoda diferenční regrese předpokládá, že B ' s pro rovnice diferenciálu a úrovně jsou stejné … Což je jasně v reálném životě tomu tak není. Odhad v rozdílech je úplně jiná věc než odhad v úrovních …