V knize se píše, že Fockův prostor je definován jako přímý součet všech $ n $ -body Hilbert Space:
$$ F = H ^ 0 \ bigoplus H ^ 1 \ bigoplus … \ bigoplus H ^ N $$
Znamená to, že pouze „shromažďuje“ / „přidává“ všechny státy v každém Hilbertově prostoru? Učím se 2. kvantizaci, proto jsem to místo matematiky dal do fyziky.
Komentáře
- Ptáte se, co a " přímý součet " je nebo se ptáte, jaká je fyzická motivace vzít tento přímý součet?
- en.wikipedia.org/wiki/Direct_sum , ale pravděpodobně jste si to přečetli a stránka wikipedia vypadá sama sebe nejistě ….
Odpověď
Předpokládejme, že máte systém popsaný Hilbertovým prostorem $ H $ , například jedna částice. Hilbertův prostor dvou neinteragujících částic stejného typu, jaký popisuje $ H $ , je jednoduše tenzorový produkt
$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$
Obecněji pro systém $ N $ částice, jak je uvedeno výše, Hilbertův prostor je
s $ H ^ 0 $ definovaným jako $ \ mathbb C $ (tj. pole pod $ H $ ).
V QFT existují operátoři, kteří proplétají různé $ H ^ N $ s, to znamená vytvářet a ničit částice. Typickými příklady jsou operátory vytváření a zničení $ a ^ * $ a $ a $ . Místo toho, aby je definovali z hlediska jejich působení na každou dvojici $ H ^ N $ a $ H ^ M $ , je dovoleno poskytnout " komplexní " definici většího Hilbertovho prostoru definovaného přímým součtem všech multi -částicové mezery, viz.
$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$
známé jako Fock Hilbertův prostor $ H $ a někdy také označované jako $ e ^ H $ .
Z fyzikálního hlediska je obecná definice prostoru Fock nepodstatná. Je známo, že identické částice sledují definitivní (para) statistiku, která zmenší skutečný Hilbertův prostor (symetrizací / antisymetrizací pro bosonický / fermionický případ atd …).
Komentáře
- Skvělá odpověď! Přál bych si, aby takto psali učebnice QFT.
Odpověď
Skvělé odpovědi, ale pro úplnost možná to bude ilustrativní jako příklad.
Předpokládejme, že váš $ H ^ 1 $ obsahuje některé částicové stavy $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $ atd. Fockův prostor odstraní omezení na je jediná částice a skládá se z $ H ^ 0 $ (což je 1-dimenzionální), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $ atd. umožňuje stavy jako
- stav vakua, nechme to nazvat prázdný ket $ | \ rangle $,
- všechny stavy jednotlivých částic, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
- všechny stavy dvou částic, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (poznámka, že tato konstrukce je považuje za rozlišitelné),
ale hlavně
- jakákoli superpozice výše uvedeného , jako $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.
Tento prostor je ze své podstaty nekonečně dimenzionální, i když začínáte něčím malým, jako je qubit. Pokud si chcete výsledek představit pomocí základny, jednoduše zřetězte seznamy základních stavů všech komponent:
$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$
V nejtriviálnější nastavení jednotlivé částice ve skutečnosti nemá žádné odlišné stavy, takže $ H ^ 1 $ je 1-dimenzionální. Stále má smysl vybrat základní stav $ | {} \ circ {} \ rangle \ v H ^ 1 $ a postavit Fockův prostor na základě
$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$
příkladem stavu může být řekněme koherentní stav
$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$
a máte pěkný příklad toho, proč lidé mohou v harmonickém oscilátoru hovořit o excitacích jako o „fonónech“, i když osciluje pouze jedna částice!
Odpověď
Ano, má. Pokud chcete, vytvoříte z „malých“ „velký“ Hilbertův prostor.