Z několika online zdrojů jsem četl $$ E \ propto A ^ 2 $$, ale když jsem to ve třídě zmínil, učitel mi řekl, že se mýlím a že to bylo přímo úměrné amplitudě.
Pokud vím, každá webová stránka, na kterou jsem v souvislosti s tím narazil, říkala, že tomu tak je. Můj učitel má doktorát a zdá se docela zkušený, takže nechápu, proč by udělal chybu, existují případy, kdy $ E \ propto A $?
Také jsem viděl tuto derivaci:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
umístěn zde , vadí vám někdo vysvětlit to trochu podrobněji? Mám základní představu o tom, co je integrál, ale nejsem si jistý, jaký je plakát v odkaz říkal. Vím, že existuje docela dobré vysvětlení zde , ale zdá se mi to příliš pokročilé (vzdal jsem se, jakmile jsem viděl částečné derivace, ale vidím, že jsou později stejný). První, na který jsem odkazoval, vypadá jako něco, čemu rozumím.
Komentáře
- Ptáte se na správné otázky a přemýšlíte správným způsobem. Zapomeňte na PhD a místo toho požádejte svého učitele, aby podrobně vysvětlil proč si myslí, že $ E \ propto A $. Galileo zde měl co říci: " … autorita tisíce nestojí za pokorné uvažování jediného jednotlivce ". Energie v lineárních systémech jsou kvadratické funkce zobecněných souřadnic, jako v Kyle ' s odpovědí .
Odpověď
Plakát z tohoto odkazu říká, že práce odvedená na jaře (tam je zákon „Hooke“: $ F = -kx $) se rovná potenciální energii (PE) při maximálním posunutí, $ A $; tato PE pochází z kinetické energie (KE) a rovná se integrálu Hookova zákona v rozsahu 0 (minimální posunutí) do $ A $ (maximální posunutí).
Každopádně, váš profesor se mýlí. Celková energie ve vlně pochází ze součtu změn potenciální energie, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ a v kinetické energii, $$ \ Delta K = \ frac12 \ vlevo (\ Delta m \ vpravo) v ^ 2 \ tag {KE} $$, kde $ \ Delta m $ je změna hmotnosti. předpokládejme, že hustota vlny je rovnoměrná, pak $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $, kde $ \ mu $ je lineární hustota. Celková energie je tedy $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ As $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ a $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, pak je energie úměrná druhé mocnině amplitudy: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Komentáře
- Toto je pravděpodobně snadno dostupné někde na wikipedii nebo tak něco, ale mohu se zeptat, kam jdete PE rovnice, kterou jste uvedli?
- @ D.W .: Omlouváme se za velmi pozdní odpověď, můžete ji vidět na tomto hyperfyzikálním webu . Můžete použít skutečnost, že $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ a změna v $ U $ by byla spojena s hromadnou změnou vlny, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (s lineární hustotou $ \ mu $).