Zde je pravděpodobnostní otázka (pravděpodobně opravdu jednoduchá). Nejsem si jistý, jak vyřešit:
Gamma distribuce $ X \ sim \ mathcal {G} (\ alpha, \ beta) $ s $ \ mu = 20 $ a $ \ sigma ^ 2 = 80 $
$ P (X \ le 24) $ =?
Předchozí otázkou bylo zjištění hodnot $ \ alpha $ a $ \ beta $, které jsem provedl pomocí $ \ mu $ = $ \ alpha $$ \ beta $ a $ \ sigma ^ 2 $ = $ \ alfa $$ \ beta ^ 2 $.
U cdf distribuce gama moje učebnice říká $ P (X \ le x) = F (x; \ alpha, \ beta) = F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ kde $ F (x / \ beta; \ alpha, 1) $ je standardní distribuce gama cdf $$ F (x; \ alpha, 1) = \ frac {1} {\ Gamma (\ alpha)} \ int_0 ^ x { y ^ {\ alpha-1} e ^ {- y}} \ text {d} y $$
Abychom to integrovali, vypadá to, že musím použít pravidlo řetězu, ale náš profesor to nikdy neudělal příklad. Existuje zkratková metoda? Nikdy jsme nepoužili integraci v reálném příkladu, pouze abychom definovali pdf a získali cdf pro různé distribuce.
Upravit
Příklady v mém učebnice zahrnující standardní problémy s distribucí gama říká, že je třeba vyhledat hodnoty $ F (x; \ alpha) $ v tabulce A.4 přílohy. Když jsem se podíval, tabulka A.4 chyběla, což mě opravdu zklamalo. Existují nějaké standardní gamma distribuční tabulky online, které si mohu vytisknout a odevzdat se zadáním? Zkontroloval jsem Wolfram Alpha, ale oni žádnou neměli. Casio má něco , ale nejsem si jistý, jaké jsou parametry tvaru a měřítka.
Upravit 2
Nalezl jsem tuto tabulku. V přední části knihy se tabulka A.5 objevila hned po A.3, a proto jsem si myslel, že A.4 chybí. Šel jsem do knihovny zjistit, zda měli stejnou učebnici; měli a někdo měl zdravý rozum (který jsem neměl) podívat se do zadní části knihy a tam to bylo. Už není potřeba žádná pomoc.
Komentáře
- Musíte se integrovat po částech opakovaně začínající $ u = y ^ {\ alpha-1} $ a $ v = -e ^ {- y} $, $ dv = e ^ {- y} dy $ a $$ \ int u dv = uv – \ int v du. $$ Pokaždé, když tak učiníte, získáte integrál s menším exponentem za $ y $. Pokud je $ \ alpha $ celé číslo, budete moci proces dokončit. Pokud $ \ alpha $ není celé číslo, věci jsou komplikovanější.
- @dilip, měli byste svůj komentář odeslat jako odpověď.
- @DilipSarwate, neexistuje žádné uzavřené řešení pro $ \ alpha $ non-integer, tento cdf je pak neúplná funkce gama .
- A já silně pochybuji, že cílem byla integrace po částech cvičení.
- wolframalpha.com/input/?i=CDF[GammaDistribution[5%2C+4]%2C+24]
Odpověď
Jak naznačuje probabilityislogic, můj komentář se převede na odpověď.
Musíte integrovat po částech opakovaně počínaje $ u = y ^ {\ alpha -1} $, $ v = −e ^ {- y} $, $ \ mathrm dv = e ^ {- y} \ mathrm dy $ a pomocí $$ \ int_0 ^ xu \ \ mathrm dv = uv \ biggr | _0 ^ x – \ int_0 ^ xv \ \ mathrm du. $$ Protože $ \ mathrm du = (\ alpha-1) y ^ {\ alpha-2} \ mathrm dy $, pokaždé, když provádíte integraci po částech, získá integrál s menším e xponent za $ y $ na pravé straně. Pokud je $ \ alpha $ celé číslo (jako je tomu v tomto konkrétním případě), budete moci proces dokončit pomocí $ \ int_0 ^ x e ^ {- y} \ mathrm dy $. Pokud $ \ alpha $ není celé číslo, jsou věci komplikovanější, protože pro $ \ int_0 ^ xy ^ {\ gamma} e ^ {- y} \ mathrm dy $ kde $ 0 < \ gamma < 1 $. Jak poznamenal Xi „an, cdf je neúplná funkce gama a její číselné hodnoty byly uvedeny v tabulce.
Pokud integrace po částech není bodem tohoto cvičení, jak je navrženo v Elvisově komentáři možná budete chtít zkontrolovat, zda váš profesor chce, abyste uvažovali o hodnotě gama náhodné proměnné jako času příjezdu v Poissonově náhodném procesu a vyřešili problém z tohoto hlediska.
Komentáře
- Existuje online tabulka pro různé hodnoty x a alfa? Moje učebnice obsahuje pouze tabulky pro standardní normální křivky at distribuce. Snažil jsem se jeden hledat, ale místo toho jsem našel příliš mnoho tabulek chí-kvadrátů.
- Nevím ' o online tabulce, ale MATLAB pro vás vypočítá hodnoty , a předpokládám, že R nebo Mathematica nebo Wolfram Alpha nebo Maple nebo … atd. udělají totéž.