Zmatek ohledně výpočtu základního období?

Goniometrické funkce jsou v zásadě exponenciální. Zdvojnásobení argumentu tedy odpovídá umocnění funkce (v jistém smyslu). V tomto případě je to vidět použitím vzorce pro přidání úhlu:

$$ \ begin {aligned} \ cos (2 \ theta) & = \ cos (\ theta + \ theta) \\ & = \ cos (\ theta) \ cos (\ theta) – \ sin (\ theta) \ sin (\ theta) \\ & = \ cos ^ 2 (\ theta) – (1- \ cos ^ 2 (\ theta)) \\ & = 2 \ cos ^ 2 (\ theta) – 1 \ end {aligned} $$

Tvorba

$$ \ cos ^ 2 (\ theta) = \ frac {\ cos (2 \ theta) + 1} {2} $$

Použití na váš rovnice:

$$ x (t) = \ cos ^ 2 (4 \ pi t) = \ frac {\ cos (8 \ pi t) + 1 } {2} $$

Z toho je zcela jasné, že základní období je 0,25, což činí $ 8 \ pi t = 2 \ pi $ .

Na vyžádání:

$$ \ begin {aligned} x (t) & = \ cos ^ 3 (4 \ pi t) \\ & = \ left (\ frac {e ^ {i 4 \ pi t} + E ^ {- i 4 \ pi t}} {2} \ vpravo) ^ 3 \\ & = \ frac {1} {8} \ vlevo (e ^ {i 12 \ pi t} + 3 e ^ {i 4 \ pi t} + 3 e ^ {- i 4 \ pi t} + e ^ {- i 12 \ pi t} \ vpravo) \\ & = \ frac {1} {4} \ left [\ cos (12 \ pi t) + 3 \ cos (4 \ pi t) \ right] \\ \ end {zarovnáno} $$

Odtud byste měli být schopni zjistit. Všimněte si, že čtvercový případ mohl být řešen stejným způsobem.

Tuto techniku používám značně pro tyto vzorce:

• Přesné vzorce s okamžitou frekvencí, nejlepší na špičkách (část 1)
• Přesné vzorce s okamžitou frekvencí, nejlepší na špičkách (část 2)
• Přesné vzorce s okamžitou frekvencí, nejlepší při nulových přechodech

Komentáře

• prosím laskavě aktualizujte druhý poslední řádek své odpovědi. Základní období je 0,25, nikoli základní frekvence.
• @Man Hotovo, dobrý úlovek. Omlouváme se za to.
• Proveďte prosím trochu aktualizaci své odpovědi, abyste vyhověli potřebě aktualizované otázky.
• @Man Přestat přesouvat brankové příspěvky. n = 3,4,5 … lze vypočítat podle vzorce. konečný výsledek je $ n4 \ pi T = 2 \ pi $, což je stejné jako $ T = 1 / (2n) $

Vypadá to, že jde spíš o problém sémantiky.

Signál je periodický s časem $ T $ pokud

$$ x (t + n \ cdot T) = x (t), n \ in \ mathbb {Z} $$

Takže signál je periodický v $ 0,5 $ , protože pro $ T = 0,5 \ cdot n $ je argument kosinu celočíselným násobkem $ 2 \ pi $ . Protože je to periodické v $ 0,5 $ , je také periodické ve všech celočíselných násobcích $ 0,5 $ , tj. $ 1 $ , $ 1,5 $ , $ 2 $ atd.

V tomto případě je to také periodické v 0,25 $ od $$ \ cos ^ 2 (4 \ cdot \ pi \ cdot t) = 0,5 \ cdot (1+ \ cos (8 \ cdot \ pi \ cdot t)) $$

Takže jakýkoli periodický signál má nekonečný počet period, základní je nejmenší a všechny ostatní jsou celočíselné násobky základního.

Pokud to některému pomůže, vygenerujte jednotkovou amplitudu sinusové vlny na 1 Hz a její čtverec:

Pak sinusoida a její čtverec vypadají takto:

Vidíte komponentu DC: průměrná hodnota čtvercové sinusové vlny (zprůměrovaná na celé číslo období) je 1/2. A frekvence červené sinusové vlny je přesně zdvojnásobena, takže období je poloviční. DC a zdvojnásobená frekvence jsou „porazené frekvence“ získané vynásobením samotné sinusové vlny.

Komentáře

• jaký software používáte?
• Používám komerční simulační program s názvem Extend (starší verze) a ExtendSim (novější verze), od společnosti Imagine That, Inc. Jsou doplněny čtyřmi knihovnami bloků, které jsem začal vyvíjet již v roce 1990. Moje knihovny s názvem LightStone jsou k dispozici zdarma s úplným komentovaným zdrojovým kódem. Adresa URL mých knihoven je umass.box.com/v/LightStone . Knihovny budu aktualizovat do konce týdne, aby fungovaly s nejnovější verzí ExtendSim 10.0.6 (mělo by to být jen překompilování). Výše uvedený model byl vytvořen pomocí nástroje Extend 6.0.8 na starém počítači Mac (líbí se mi, jak to vypadá).
• Díky, ' si to zkontroluji: )