Según el modelo de Sommerfeld, los electrones en el nivel de Fermi tienen la relación
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
es decir $ \ hbar k_F = m_ev_F $ con $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Pero resulta que la energía de Fermi calculada es mayor que el valor experimental para muchos rieles. La teoría de la banda de energía explicó esto reemplazando $ m_e $ con $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Ahora, si quiero calcular la velocidad de los electrones en el nivel de Fermi, ¿tengo que reemplazar $ m_e $ con $ m ^ * $? Parece que sí, pero alguna fuente (no tan confiable) sugirió lo contrario. ¿Existe alguna relación subyacente que se cancele y haga que los electrones en el nivel de Fermi actúen como un electrón desnudo?
¡Gracias!
Respuesta
Tenga en cuenta que modelo de Sommerfeld simplemente generaliza la teoría de los metales de Drude teniendo en cuenta el hecho de que los electrones son fermiones, por lo que la exclusión de Pauli se convierte en un factor muy importante. En el modelo de Sommerfeld, no hay masa efectiva de qué hablar, ya que básicamente uno ignora los átomos (núcleos) en el sistema y considera el movimiento libre fermiones . Entonces, su velocidad de Fermi viene dada por: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Con modelos más avanzados, como la cadena de unión apretada, uno comienza a tomar teniendo en cuenta el entorno periódico del electrón, es decir, el potencial de Coulomb periódico $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (tomado ahora en $ \ mathcal {H} $ del sistema) y con ciertas aproximaciones educadas se utiliza un enfoque de LCAO (combinación lineal de orbitales atómicos) para resolver la ecuación de Schrödinger. Como ya parece saber, este resultado es la famosa estructura de bandas de los electrones en los sólidos, donde aparece un gap energético entre las bandas de valencia y conducción (semiconductores, aislantes). Siempre que la parte inferior de la banda (mínimo de la banda cond. O máximo de la banda de valencia) se pueda aproximar mediante una parábola, entonces la dispersión se puede escribir como una parte constante más un término cuadrático: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ con esta aproximación, el electrón en la estrecha cadena de unión de átomos puede describirse como que se mueve libremente si se usa la masa efectiva asociada $ m ^ * $. Tenga en cuenta que el término $ cte $ es de hecho $ E_c $ o $ E_v $ (solo las energías de banda que describen la brecha).
En resumen, si estás hablando de un electrón libre en el modelo de estructura de banda, entonces la masa efectiva se utilizará. Para mayor intuición, si ha visto algunas de las derivaciones, es posible que haya notado el elemento de matriz de salto $ t $ que aparece al resolver los valores propios de energía, de hecho es el salto fuerza (probabilidad de que el electrón salte entre los átomos de la cadena, en el modelo de unión estrecha) que define qué tan diferente es la masa efectiva $ m ^ * $ del electrón de su masa en reposo $ m_e. $ En la mayoría de los casos, » son simplemente inversamente proporcionales $ m ^ * \ propto 1 / t, $ cuanto más grande $ t $, más ligeros se sienten los electrones.