I følge Sommerfeld-modellen har elektronene på Fermi-nivået forholdet
$$ \ epsilon_F = \ frac {\ hbar ^ 2k_F ^ 2} {2m_e} = \ frac {1} {2} m_ev_F ^ 2 $$
ie $ \ hbar k_F = m_ev_F $ med $ k_F = (3 \ pi ^ 2n) ^ {1/3} $
Men som det viser seg, er den beregnede Fermi-energien høyere enn den eksperimentelle verdien for mange metaller. Energibåndsteorien redegjorde for dette ved å erstatte $ m_e $ med $ [(m ^ *) ^ {- 1}] = \ nabla_ \ vec {k} \ nabla_ \ vec {k} \ epsilon / \ hbar ^ 2 $. Nå hvis jeg vil beregne elektronens hastighet på Fermi-nivå, må jeg erstatte $ m_e $ med $ m ^ * $? Det virker slik, men en eller annen (ikke så pålitelig) kilde antydet noe annet. Er det noe underliggende forhold som avbrytes og forårsaker at elektronene på Fermi-nivå fungerer som et nakent elektron?
Takk!
Svar
Merk at Sommerfelds modell bare generaliserer Drudes teori om metaller ved å ta i betraktning det faktum at elektroner er fermioner, så Pauli-ekskludering blir en veldig viktig faktor. I Sommerfelds modell er det ingen effektiv masse å snakke om, ettersom man i utgangspunktet ignorerer atomene (kjernene) i systemet og anser å bevege seg fritt fermioner . Så der er Fermi-hastigheten din bare gitt av: $$ v_F = \ frac {\ hbar k_F} {m_e}. $$
Med mer avanserte modeller, som den tette bindekjeden, begynner man å ta i betraktning det periodiske miljøet til elektronet, nemlig det periodiske Coulomb-potensialet $ V (\ mathbf {r}) = V (\ mathbf {r} + \ mathbf {R}) $ (tatt nå i $ \ mathcal {H} $ av systemet) og med visse utdannede tilnærminger benyttes en LCAO (lineær kombinasjon av atomorbitaler) tilnærming for å løse Schrödinger-ligningen. Som du allerede ser ut til å vite, er dette resultatet den berømte båndstrukturen til elektroner i faste stoffer, der et energisk gap mellom valens- og ledningsbånd vises (halvledere, isolatorer). Når bunnen av båndet (min kondensbånd eller maks. Valensbånd) kan tilnærmes med en parabel, kan dispersjonen skrives som en konstant del pluss et kvadratisk begrep: $$ E (k) \ propto cte + \ frac {\ hbar ^ 2 k ^ 2} {2m ^ *} $$ med denne tilnærmingen kan elektronet i den tette bindende kjeden av atomer beskrives som fritt bevegelig hvis den tilknyttede effektive massen $ m ^ * $ brukes. Merk at begrepet $ cte $ faktisk er $ E_c $ eller $ E_v $ (bare båndenergiene som beskriver gapet).
For å oppsummere, hvis du snakker om et fritt elektron i båndstrukturmodellen, så er effektiv masse skal brukes. For mer intuisjon, hvis du har sett noen av avledningene, har du kanskje lagt merke til hoppematriseelementet $ t $ som dukker opp når du løser for energien egenverdier, det er faktisk hoppingen styrke (sannsynligheten for at elektronet hopper mellom atomene i kjeden, i den tette bindingsmodellen) som definerer hvor forskjellig den effektive massen $ m ^ * $ av elektronet er fra hvilemassen $ m_e. $ I de fleste tilfeller er de » er ganske enkelt omvendt proporsjonal $ m ^ * \ propto 1 / t, $ jo større $ t $, jo lettere føler elektronene.